Bài tập 48, § 1

(a) Cho $p\in [1,+\infty [$ đã cho. Một tập con X của $L^p(\mathbf{R})$ là tương đối compact khi và chỉ khi nó bị chặn và thỏa mãn các điều kiện

lim$_{y\rightarrow 0}$ sup$_{f\in X}\|\boldsymbol{\gamma }(y)f-f\|_p= 0$

lim$_{R\rightarrow+\infty}$ sup$_{f\in X}\|(1-\varphi_R)f\|_p= 0$,

trong đó $\varphi_R$ là hàm đặc trưng của khoảng $[-R,R]$ (xem INT, VIII, p. 205, bài tập 26).

(b) Cho X là một tập con bị chặn của $L^2(\mathbf{R})$. Chứng minh rằng X là tiền compact khi và chỉ khi

lim$_{R\rightarrow+\infty}$ sup$_{f\in X}\int_{\mathbf{R}}(1-\varphi_R)(|f|^2+|\widehat{f}|^2)dx= 0$.

(c) Cho $(f_n)$ là một dãy trong $L^2(\mathbf{R})$ trực chuẩn trong $L^2(\mathbf{R})$ sao cho sup$_n|f_n|$ thuộc $L^2(\mathbf{R})$. Khi đó sup$_n|\widehat{f}_n|$ không thuộc $L^2(\mathbf{R})$.