Exercice 49, § 1

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$ et de cardinal $q$. On munit $k$ de la mesure de comptage et on note $\widehat{f}$ la cotransformation de Fourier d’une fonction $f:k\rightarrow \mathbf{C}$.

a) Soit $\chi$ un caractère non-trivial de $k^*$. On étend $\chi$ à $k$ en posant $\chi (0) = 0$.

Démontrer que $|\widehat{\chi}(\psi )|=\overline{q}$ pour tout $\psi \in \widehat{k}$ tel que $\psi \not= 1$. (« Sommes de Gauss ».)

b) Soit $d|q-1$ un entier. Démontrer que pour tout caractère $\psi \not= 1$ de $k$, on a

avec égalité si $d= 2$.

c) Soient $\chi_1$ et $\chi_2$ des caractères non-triviaux de $k^*$, étendus par 0 à $k$ comme dans la question a). On pose

(« sommes de Jacobi »). Si $\chi_1\chi_2\not= 1$, alors pour tout caractère $\psi \not= 1$ de $k$, on a

d) Supposons que $p$ est un nombre premier congru à 1 modulo 4. Il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $a^2+b^2=p$ (« théorème des deux carrés de Fermat »). (Considérer une somme de Jacobi pour des caractères d’ordre convenablement choisi de $\mathbf{F}^*_p.$)

e) Supposons que $p$ est impair. Soit $\lambda \in \widehat{k}^*$ l’unique caractère d’ordre 2 (« caractère de Legendre »). Soit $\chi$ un caractère non trivial de $k^*$ et posons $\eta =\chi^2$. Démontrer que pour tout caractère $\psi \not= 1$ de $k$, on a

(« formule de Hasse–Davenport »).

f) Supposons que $p$ est impair. Soit $N_p$ le nombre de $(x, y)\in \mathbf{F}_p\times \mathbf{F}_p$ tels que $y^2=x^4+ 1$. On a

(Lorsque $p$ est congru à 3 modulo 4, montrer que $N_p=p$; sinon, vérifier que $N_p-p=-\sum_x\lambda (x^4+ 1)$, où $\lambda$ est le caractère de Legendre modulo $p$, et exprimer cette somme à l’aide de sommes de Jacobi.)

g) Comparer ces formules avec celles satisfaites par la fonction gamma (FVR, VII).