Bài tập 49, § 1

Cho $k$ là một trường hữu hạn có đặc số $p$ và có lực lượng $q$. Ta trang bị cho $k$ độ đo đếm và ký hiệu bởi $\widehat{f}$ phép đồng biến đổi Fourier của một hàm $f:k\rightarrow \mathbf{C}$.

a) Cho $\chi$ là một đặc trưng không tầm thường của $k^*$. Ta mở rộng $\chi$ lên $k$ bằng cách đặt $\chi (0) = 0$.

Chứng minh rằng $|\widehat{\chi}(\psi )|=\overline{q}$ với mọi $\psi \in \widehat{k}$ sao cho $\psi \not= 1$. (“Tổng Gauss”.)

b) Cho $d|q-1$ là một số nguyên. Chứng minh rằng với mọi đặc trưng $\psi \not= 1$ của $k$, ta có

với đẳng thức nếu $d= 2$.

c) Cho $\chi_1$ và $\chi_2$ là các đặc trưng không tầm thường của $k^*$, được mở rộng bằng 0 lên $k$ như trong câu hỏi a). Ta đặt

(“Các tổng Jacobi”). Nếu $\chi_1\chi_2\not= 1$, thì với mọi đặc trưng $\psi \not= 1$ của $k$, ta có

d) Giả sử rằng $p$ là một số nguyên tố đồng dư với 1 theo môđun 4. Tồn tại các số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^2+b^2=p$ (“Định lý Fermat về hai bình phương”). (Xét một tổng Jacobi đối với các đặc trưng có cấp được chọn thích hợp của $\mathbf{F}^*_p.$)

e) Giả sử rằng $p$ là lẻ. Cho $\lambda \in \widehat{k}^*$ là đặc trưng duy nhất có cấp 2 (“đặc trưng Legendre”). Cho $\chi$ là một đặc trưng không tầm thường của $k^*$ và đặt $\eta =\chi^2$. Chứng minh rằng với mọi đặc trưng $\psi \not= 1$ của $k$, ta có

(“Công thức Hasse–Davenport”).

f) Giả sử rằng $p$ là lẻ. Cho $N_p$ là số các $(x, y)\in \mathbf{F}_p\times \mathbf{F}_p$ sao cho $y^2=x^4+ 1$. Ta có

(Khi $p$ đồng dư với 3 theo môđun 4, bây giờ chứng minh rằng $N_p=p$; ngược lại, kiểm chứng rằng $N_p-p=-\sum_x\lambda (x^4+ 1)$, trong đó $\lambda$ là đặc trưng Legendre môđun $p$, và biểu diễn tổng này bằng các tổng Jacobi.)

g) So sánh các công thức này với các công thức thỏa mãn bởi hàm gamma (FVR, VII).