Exercice 5, § 1

Soit $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$. On suppose que $\mathscr{F}(\mu)\in L^1(\widehat{G})$. Alors $\mu$ est une mesure de base la mesure de Haar sur G (INT, V, § 5, n$^o2$, déf. 2), et admet une densité continue par rapport à celle-ci. (Utiliser la base de filtre $\mathfrak{B}$ de la prop. 8 de II, p. 211. Montrer que lim$_{\varphi ,\mathfrak{B}}\varphi *\mu=\mu$ pour la topologie vague, et pour $\varphi$ dans un élément de $\mathfrak{B}$, on a $\mathscr{F}(\varphi *\mu) =\mathscr{F}(\varphi )\mathscr{F}(\mu)$ ; or $\mathscr{F}(\mu)\in$ $L^1(\widehat{G})$, donc $\varphi *\mu=\overline{\mathscr{F}}(\mathscr{F}(\varphi *\mu))$ tend vers $\overline{\mathscr{F}}(\mathscr{F}(\mu))$ dans $\mathscr{C}_0(G)$. Ainsi $d\mu(x) =f(x)dx$ où $f=\overline{\mathscr{F}}(\mathscr{F}(\mu))$.)