Bài tập 5, § 1

Cho $\mu\in \mathscr{M}^1(G)$. Giả sử rằng $\mathscr{F}(\mu)\in L^1(\widehat{G})$. Khi đó $\mu$ là một độ đo dựa trên độ đo Haar trên G (INT, V, § 5, n$^o2$, định nghĩa 2), và thừa nhận một mật độ liên tục đối với độ đo này. (Dùng cơ sở bộ lọc $\mathfrak{B}$ của mệnh đề 8 của II, p. 211. Bây giờ chứng minh rằng lim$_{\varphi ,\mathfrak{B}}\varphi *\mu=\mu$ đối với tôpô mơ hồ, và với $\varphi$ thuộc một phần tử của $\mathfrak{B}$, ta có $\mathscr{F}(\varphi *\mu) =\mathscr{F}(\varphi )\mathscr{F}(\mu)$ ; nhưng $\mathscr{F}(\mu)\in$ $L^1(\widehat{G})$, do đó $\varphi *\mu=\overline{\mathscr{F}}(\mathscr{F}(\varphi *\mu))$ hội tụ tới $\overline{\mathscr{F}}(\mathscr{F}(\mu))$ trong $\mathscr{C}_0(G)$. Vậy $d\mu(x) =f(x)dx$ trong đó $f=\overline{\mathscr{F}}(\mathscr{F}(\mu))$.)