Exercice 50, § 1

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p\not= 2$ et de cardinal $q$. On munit $k$ de la mesure de comptage et on note $\widehat{f}$ la cotransformation de Fourier d’une fonction $f:k\rightarrow \mathbf{C}$. On munit $k^*$ de la mesure de comptage et on fixe un caractère non trivial $\psi$ de $k$. On note $\lambda$ l’unique caractère d’ordre 2 de $k^*$, étendu à $k$ en posant $\lambda (0) = 0$.

Pour tout $a\in k^*$, on pose

(« sommes de Salié »). On note $\mathscr{F}(S)$ la transformée de Fourier de la fonction S sur $k^*$.

a) Soit $\chi \in \widehat{k}^*$ et posons $\eta =\chi^2$. On a

(utiliser la formule de Hasse-Davenport).

b) En déduire que

$y^2=4a$ c) Analogie avec les fonctions de Bessel $J_{k+1/2}$ (exercice 20) pour $k\in \mathbf{N}$.