Bài tập 50, § 1

Cho $k$ là một trường hữu hạn có đặc số $p\not= 2$ và có lực lượng $q$. Ta trang bị cho $k$ độ đo đếm và ký hiệu bởi $\widehat{f}$ biến đổi Fourier đối ngẫu của một hàm $f:k\rightarrow \mathbf{C}$. Ta trang bị cho $k^*$ độ đo đếm và cố định một đặc trưng không tầm thường $\psi$ của $k$. Ta ký hiệu bởi $\lambda$ đặc trưng duy nhất cấp 2 của $k^*$, được mở rộng tới $k$ bằng cách đặt $\lambda (0) = 0$.

Với mọi $a\in k^*$, ta đặt

(“các tổng Salié”). Ta ký hiệu bởi $\mathscr{F}(S)$ biến đổi Fourier của hàm S trên $k^*$.

a) Cho $\chi \in \widehat{k}^*$ và đặt $\eta =\chi^2$. Ta có

(sử dụng công thức Hasse-Davenport).

b) Suy ra rằng

$y^2=4a$ c) Sự tương tự với các hàm Bessel $J_{k+1/2}$ (bài tập 20) với $k\in \mathbf{N}$.