Exercice 51, § 1

On identifie $\mathbf{T}$ et l’intervalle $[0,1[$. Pour $n\in \mathbf{Z}$, soit $e_n$ le caractère unitaire de $\mathbf{T}$ défini par $t\mapsto$ exp(2$i\pi nt$). Pour toute mesure $\mu\in \mathscr{M}^1(\mathbf{T})$ et tout entier $m\geqslant 1$, on note

la $m$-ème somme partielle symétrique de la série de Fourier de $\mu$.

Une famille finie $(y_1, . . . , y_k)$ de nombres réels est dite $\mathbf{T}$-indépendante si $(1, y_1, . . . , y_k)$ est $\mathbf{Q}$-linéairement indépendante. Cela revient à dire que l’équation

dans $\mathbf{T}$, avec $m_j\in \mathbf{Z}$, a pour unique solution la famille nulle. Pour $t\in \mathbf{R}$, on note $t-(y_1, . . . , y_k)$ la famille $(t-y_j)_j$.

a) Soit $n\geqslant 10^6$ un entier. Il existe des réels $x_1, . . . ,x_n$ dans $[0,1]$ tels que

et tels que la famille $E_n= (x_1, . . . , x_n)$ est $\mathbf{T}$-indépendante.

On note

$n$

$\mu_n=\frac{1}{n}\sum\varepsilon_{x_j}$.

$j=1$

C’est une mesure de probabilité sur $\mathbf{T}$.

b) Soit $t\in \mathbf{R}$. On a

$\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n|$ sin($\pi (1t-x_j)$)$|\geqslant \frac{1}{5}$ log $n$.

c) Soit $t\in \mathbf{R}$ tel que la famille $t-E_n$ est $\mathbf{T}$-indépendante. Il existe $m\in \mathbf{N}^*$ tel que

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{2}{15}$ log $n$.

(appliquer le théorème de Kronecker, cf. exercice 34).

d) Soit $t\in \mathbf{R}$ tel que la famille $t-E_n$ n’est pas $\mathbf{T}$-indépendante et soient $m_1, . . . ,m_n$ des entiers non tous nuls tels que

dans $\mathbf{T}$. Si deux des entiers $m_j$ sont non nuls, il existe $m\geqslant 0$ tel que

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{10}$ log $n$ (soit $j$ tel que $m_j\not= 0$ et $|x_j-t|$ est maximal ; noter que la famille $t-(x_i)_{i\not=j}$ est $\mathbf{T}$-indépendante et appliquer le théorème de Kronecker).

e) On garde l’hypothèse de la question précédente, mais on suppose que seul un des coefficients $m_j$ est non nul, et que $t \notin E_n$. Il existe $m\geqslant 0$ tel que

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{10}$ log $n$

(observer que la famille $m_j(t-x_i)_{i\not=j}$ est $\mathbf{T}$-indépendante et appliquer le théorème de Kronecker).

f) On suppose que $t\in E_n$. Il existe $m\geqslant 0$ tel que

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{10}$ log $n$

(la famille $(x_i)_{x_i\not=t}$ est $\mathbf{T}$-indépendante).

g) Il existe un entier $M\geqslant 0$ tel que, pour tout $t\in \mathbf{T}$, on a

sup$_{0\leqslant m\leqslant M}|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{20}$ log $n$.

h) Il existe une fonction $f_n\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{T})$ et un entier $M\geqslant 0$ tels que

Supp($f_n$)$\subset \bigcup_{j=1}^n[\frac{j}{n}-\frac{2}{10^4n},\frac{j}{n}+\frac{2}{10^4n}]$

sup$_{0\leqslant m\leqslant M}|S_m(f_n)(t)|\geqslant \frac{1}{40}$ log $n$, pour tout $t\in \mathbf{T}$.

i) Il existe $M\geqslant 1$ et une famille finie $(a_n)_{|n|\leqslant M}$ de nombres complexes tels que la fonction

vérifie

$\int_{\mathbf{T}}|g_M(t)|dt\leqslant 2$, inf$_{t\in\mathbf{T}0}$sup$_{\leqslant m\leqslant M}|S_m(g_M)(t)|\geqslant \frac{1}{40}$ log $n$.

j) Il existe $\varphi \in L^1(\mathbf{T})$ telle que $\widehat{\varphi}(h) = 0$ si $h <0$ et telle que la série

diverge pour tout $t\in \mathbf{T}$ (« théorème de Kolmogorov »).

(Il existe une suite $N_k$ d’entiers et une suite de fonctions

telles que $\|g_k\|_1\leqslant 2$ et

inf$_{t\in\mathbf{T}0}$sup$_{\leqslant m\leqslant N_k}|S_m(g_k)(t)|\geqslant 2^{2k}$.

Soit $\widetilde{g}_k=e_{M_k}g_k$, où $M_k$ est un entier assez grand ; poser $\varphi =\sum_{k\geqslant 1}2^{-k}\widetilde{g}_k.)$