Bài tập 51, § 1

Ta đồng nhất $\mathbf{T}$ với khoảng $[0,1[$. Với $n\in \mathbf{Z}$, gọi $e_n$ là đặc trưng đơn vị của $\mathbf{T}$ được xác định bởi $t\mapsto$ exp(2$i\pi nt$). Với mọi độ đo $\mu\in \mathscr{M}^1(\mathbf{T})$ và mọi số nguyên $m\geqslant 1$, ta đặt

là tổng riêng đối xứng thứ $m$ của chuỗi Fourier của $\mu$.

Một họ hữu hạn $(y_1, . . . , y_k)$ các số thực được gọi là $\mathbf{T}$-độc lập nếu $(1, y_1, . . . , y_k)$ độc lập tuyến tính trên $\mathbf{Q}$. Điều này tương đương với việc nói rằng phương trình

trong $\mathbf{T}$, với $m_j\in \mathbf{Z}$, có nghiệm duy nhất là họ không. Với $t\in \mathbf{R}$, ta ký hiệu $t-(y_1, . . . , y_k)$ là họ $(t-y_j)_j$.

a) Cho $n\geqslant 10^6$ là một số nguyên. Tồn tại các số thực $x_1, . . . ,x_n$ trong $[0,1]$ sao cho

và sao cho họ $E_n= (x_1, . . . , x_n)$ là $\mathbf{T}$-độc lập.

Ta đặt

$n$

$\mu_n=\frac{1}{n}\sum\varepsilon_{x_j}$.

$j=1$

Đó là một độ đo xác suất trên $\mathbf{T}$.

b) Cho $t\in \mathbf{R}$. Ta có

$\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n|$ sin($\pi (1t-x_j)$)$|\geqslant \frac{1}{5}$ log $n$.

c) Cho $t\in \mathbf{R}$ sao cho họ $t-E_n$ là $\mathbf{T}$-độc lập. Tồn tại $m\in \mathbf{N}^*$ sao cho

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{2}{15}$ log $n$.

(áp dụng định lý Kronecker, cf. bài tập 34).

d) Cho $t\in \mathbf{R}$ sao cho họ $t-E_n$ không $\mathbf{T}$-độc lập và cho $m_1, . . . ,m_n$ là các số nguyên, không phải tất cả đều không, sao cho

trong $\mathbf{T}$. Nếu hai trong các số nguyên $m_j$ là khác không, tồn tại $m\geqslant 0$ sao cho

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{10}$ log $n$ (lấy $j$ sao cho $m_j\not= 0$ và $|x_j-t|$ là cực đại; chú ý rằng họ $t-(x_i)_{i\not=j}$ là $\mathbf{T}$-độc lập và áp dụng định lý Kronecker).

e) Ta giữ lại giả thiết của câu hỏi trước, nhưng ta giả sử rằng chỉ có một trong các hệ số $m_j$ là khác không, và rằng $t \notin E_n$. Tồn tại $m\geqslant 0$ sao cho

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{10}$ log $n$

(quan sát rằng họ $m_j(t-x_i)_{i\not=j}$ là $\mathbf{T}$-độc lập và áp dụng định lý Kronecker).

f) Ta giả sử rằng $t\in E_n$. Tồn tại $m\geqslant 0$ sao cho

$|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{10}$ log $n$

(họ $(x_i)_{x_i\not=t}$ là $\mathbf{T}$-độc lập).

g) Tồn tại một số nguyên $M\geqslant 0$ sao cho, với mọi $t\in \mathbf{T}$, ta có

sup$_{0\leqslant m\leqslant M}|S_m(\mu_n)(t)|\geqslant \frac{1}{20}$ log $n$.

h) Tồn tại một hàm $f_n\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbf{T})$ và một số nguyên $M\geqslant 0$ sao cho

Supp($f_n$)$\subset \bigcup_{j=1}^n[\frac{j}{n}-\frac{2}{10^4n},\frac{j}{n}+\frac{2}{10^4n}]$

sup$_{0\leqslant m\leqslant M}|S_m(f_n)(t)|\geqslant \frac{1}{40}$ log $n$, với mọi $t\in \mathbf{T}$.

i) Tồn tại $M\geqslant 1$ và một họ hữu hạn $(a_n)_{|n|\leqslant M}$ các số phức sao cho hàm

thỏa mãn

$\int_{\mathbf{T}}|g_M(t)|dt\leqslant 2$, inf$_{t\in\mathbf{T}0}$sup$_{\leqslant m\leqslant M}|S_m(g_M)(t)|\geqslant \frac{1}{40}$ log $n$.

j) Tồn tại $\varphi \in L^1(\mathbf{T})$ sao cho $\widehat{\varphi}(h) = 0$ nếu $h <0$ và sao cho chuỗi

phân kỳ với mọi $t\in \mathbf{T}$ ("định lý Kolmogorov").

(Tồn tại một dãy $N_k$ các số nguyên và một dãy các hàm

sao cho $\|g_k\|_1\leqslant 2$ và

inf$_{t\in\mathbf{T}0}$sup$_{\leqslant m\leqslant N_k}|S_m(g_k)(t)|\geqslant 2^{2k}$.

Đặt $\widetilde{g}_k=e_{M_k}g_k$, trong đó $M_k$ là một số nguyên đủ lớn; đặt $\varphi =\sum_{k\geqslant 1}2^{-k}\widetilde{g}_k.)$