Exercice 52, § 1

Soit H un groupe discret dénombrable, non nécessairement commutatif. a) Le groupe H est moyennable (EVT, IV, p. 73, exercice 4) si et seulement si il existe une suite croissante $(F_N)_N$ de sous-ensembles finis de H telle que, pour tout $x\in H$, on a

lim$_{N\rightarrow+\infty}$ Card(F1 $_N$)Card((F$_N-xF_N$)$\cup (xF_N-F_N)$) $= 0$

(« suite de Følner »). Si H est commutatif, alors il est moyennable.

b) Soit G un groupe compact commutatif. Fixons une suite $(F_N)_{N\geqslant 1}$ de parties finies du groupe discret $\widehat{G}$ comme dans a) et notons $\varphi_N$ la fonction caractéristique de $F_N$. Posons

$\psi_N=$ Card(F1 $_N$)$\varphi_N*\widetilde{\varphi}_N$.

La fonction $\psi_N$ est à support fini, elle vérifie $0\leqslant \psi_N\leqslant 1$, et

lim$_{N\rightarrow+\infty}\psi_N(\chi ) = 1$

pour tout $\chi \in \widehat{G}$.

c) Soit $\mu_N$ la mesure sur G de densité l’application continue

La suite des mesures $(\mu_N)_{N\geqslant 1}$ converge vers $\varepsilon_e$ dans l’espace $\mathscr{M}^1(G)$ muni de la topologie de la convergence compacte dans $\mathscr{C}(G)$. (Appliquer le lemme 4 de INT, VIII, §2, n$^o7.$)

d) Soit $f\in \mathscr{C}(G)$. On a alors

$f=$ lim$_{N\rightarrow \infty}\sum_{\chi\in\widehat{G}}\psi_N(\chi )\mathscr{F}(f)(\chi )\chi$

dans $\mathscr{C}(G)$.

e) Retrouver le théorème de Fejér (prop. 23 de II, p. 242) comme cas particulier de cet énoncé.