Bài tập 52, § 1

Cho H là một nhóm rời rạc đếm được, không nhất thiết giao hoán. a) Nhóm H là amenable (EVT, IV, p. 73, bài tập 4) khi và chỉ khi tồn tại một dãy tăng $(F_N)_N$ các tập con hữu hạn của H sao cho, với mọi $x\in H$, ta có

lim$_{N\rightarrow+\infty}$ Card(F1 $_N$)Card((F$_N-xF_N$)$\cup (xF_N-F_N)$) $= 0$

(“dãy Følner”). Nếu H giao hoán, thì nó là amenable.

b) Cho G là một nhóm compact giao hoán. Cố định một dãy $(F_N)_{N\geqslant 1}$ các tập con hữu hạn của nhóm rời rạc $\widehat{G}$ như trong a) và ký hiệu $\varphi_N$ là hàm đặc trưng của $F_N$. Đặt

$\psi_N=$ Card(F1 $_N$)$\varphi_N*\widetilde{\varphi}_N$.

Hàm $\psi_N$ có giá hữu hạn, nó thỏa mãn $0\leqslant \psi_N\leqslant 1$, và

lim$_{N\rightarrow+\infty}\psi_N(\chi ) = 1$

với mọi $\chi \in \widehat{G}$.

c) Cho $\mu_N$ là độ đo trên G có mật độ là ánh xạ liên tục

Dãy các độ đo $(\mu_N)_{N\geqslant 1}$ hội tụ về $\varepsilon_e$ trong không gian $\mathscr{M}^1(G)$ được trang bị tôpô hội tụ compact trong $\mathscr{C}(G)$. (Áp dụng Bổ đề 4 của INT, VIII, §2, n$^o7.$)

d) Cho $f\in \mathscr{C}(G)$. Khi đó ta có

$f=$ lim$_{N\rightarrow \infty}\sum_{\chi\in\widehat{G}}\psi_N(\chi )\mathscr{F}(f)(\chi )\chi$

trong $\mathscr{C}(G)$.

e) Khôi phục định lý Fejér (Mệnh đề 23 của II, p. 242) như một trường hợp riêng của mệnh đề này.