Exercice 53, § 1

Étiquette 02LT, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 02LT].

Théories spectrales, II, p. 291

Soit $f\in \mathscr{L}^1(\mathbf{T})$ .

a) Soit $k\geqslant 1$ un entier et supposons que $f\in \mathscr{C}^k(\mathbf{T})$ . La série de Fourier de $f$ converge vers $f$ dans $\mathscr{C}^{k-1}(\mathbf{T})$ . Si $k\geqslant 2$ , la série de Fourier de $f$ converge absolument vers $f$ dans $\mathscr{C}(\mathbf{T})$ . b) Pour tout entier $N\geqslant 1$ , notons $f_N$ la fonction sur $\mathbf{T}$ telle que

f_N(t)=\sum_{\substack{h\in\mathbf{Z}\\ |h|\leqslant N}}\widehat f(h)e^{2i\pi ht}\left(1-\frac{|h|}{N}\right)

pour $t\in \mathbf{T}$ . Soit $X\subset \mathbf{T}$ un ensemble tel que la restriction de $f$ à X est continue. Démontrer que $f_N$ converge vers $f$ uniformément sur X.

c) Soit $X\subset \mathbf{T}$ un ouvert tel que la restriction de $f$ à X est de classe $C^1$ . Démontrer que la série de Fourier de $f$ converge symétriquement vers $f$ uniformément sur X.

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