Bài tập 53, § 1

Soit $f\in \mathscr{L}^1(\mathbf{T})$.

(a) Cho $k\geqslant 1$ là một số nguyên và giả sử rằng $f\in \mathscr{C}^k(\mathbf{T})$. Chuỗi Fourier của $f$ hội tụ về $f$ trong $\mathscr{C}^{k-1}(\mathbf{T})$. Nếu $k\geqslant 2$, chuỗi Fourier của $f$ hội tụ tuyệt đối về $f$ trong $\mathscr{C}(\mathbf{T})$.

(b) Với mọi số nguyên $N\geqslant 1$, ký hiệu $f_N$ là hàm trên $\mathbf{T}$ sao cho

với $t\in \mathbf{T}$. Cho $X\subset \mathbf{T}$ là một tập hợp sao cho hạn chế của $f$ lên X là liên tục. Bài tập chứng minh rằng $f_N$ hội tụ đều về $f$ trên X.

(c) Cho $X\subset \mathbf{T}$ là một tập mở sao cho hạn chế của $f$ lên X thuộc lớp $C^1$. Bài tập chứng minh rằng chuỗi Fourier của $f$ hội tụ đối xứng về $f$ đều trên X.