Exercice 54, § 1

On suppose que G n’est pas compact. On note $\widehat{G}_d$ le groupe dual $\widehat{G}$ muni de la topologie discrète et $\widetilde{G}$ le groupe dual de $\widehat{G}_d$; c’est un groupe topologique compact.

a) L’application qui associe à $x\in G$ le caractère $\chi \mapsto \chi (x)$ est un homomorphisme continu injectif de G dans $\widetilde{G}$; son image est dense dans $\widetilde{G}$.

On identifie désormais G à un sous-ensemble de $\widetilde{G}$.

b) Soient K un groupe topologique compact et $\varphi : G\rightarrow K$ un homomorphisme continu. Il existe un unique homomorphisme $\widetilde{\varphi}$ de $\widetilde{G}$ dans K qui étend $\varphi$.

c) Soit $f\in \mathscr{C}_b(G)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe une fonction $\widetilde{f}\in \mathscr{C}(\widetilde{G})$ qui étend $f$;

(ii) La fonction $f$ appartient à l’adhérence dans $\mathscr{C}(G)$ du sous-espace de $\mathscr{C}(G)$ engendré par les caractères $\chi \in \widehat{G}$;

(iii) L’ensemble des $\boldsymbol{\gamma }(x)f$ pour $x\in G$ est précompact dans $\mathscr{C}(G)$.

(Pour vérifier que (iii) implique (i), montrer que $f$ est uniformément continue. Considérer alors l’adhérence des $\boldsymbol{\gamma }(x)f$; c’est un espace métrique compact K. Démontrer que $\varrho :x\mapsto \boldsymbol{\gamma }(x)$ est un homomorphisme continu de G dans le groupe des isométries de K; appliquer alors la question b) pour étendre $\varrho$ en $\widetilde{\varrho}$ et poser $\widetilde{f}(x) = (\widetilde{\varrho}(x)f)(e)$.)

On dit qu’une fonction $f\in \mathscr{C}_b(G)$ vérifiant ces conditions équivalentes est presque périodique.

d) Soit $f$ une fonction presque périodique sur G. Pour tout $\varepsilon >0$ et pour toute partie compacte F de G, il existe $x\in G$ - F tel que $\|\boldsymbol{\gamma }(x)f-f\|\leqslant \varepsilon$.

e) L’ensemble des fonctions presque périodiques sur G est une sous-algèbre stellaire de $\mathscr{C}_b(G)$.