Bài tập 54, § 1

Ta giả sử rằng G không compact. Ta ký hiệu bởi $\widehat{G}_d$ nhóm đối ngẫu $\widehat{G}$ được trang bị tôpô rời rạc và bởi $\widetilde{G}$ nhóm đối ngẫu của $\widehat{G}_d$; nó là một nhóm tôpô compact.

a) Ánh xạ gắn với $x\in G$ đặc trưng $\chi \mapsto \chi (x)$ là một đồng cấu đơn ánh liên tục của G vào $\widetilde{G}$; ảnh của nó là trù mật trong $\widetilde{G}$.

Từ nay về sau ta đồng nhất G với một tập con của $\widetilde{G}$.

b) Cho K là một nhóm tôpô compact và cho $\varphi : G\rightarrow K$ là một đồng cấu liên tục. Tồn tại một đồng cấu duy nhất $\widetilde{\varphi}$ từ $\widetilde{G}$ vào K mở rộng $\varphi$.

c) Cho $f\in \mathscr{C}_b(G)$. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Tồn tại một hàm $\widetilde{f}\in \mathscr{C}(\widetilde{G})$ mở rộng $f$;

(ii) Hàm $f$ thuộc bao đóng trong $\mathscr{C}(G)$ của không gian con của $\mathscr{C}(G)$ sinh bởi các đặc trưng $\chi \in \widehat{G}$;

(iii) Tập hợp các $\boldsymbol{\gamma }(x)f$ với $x\in G$ là tiền compact trong $\mathscr{C}(G)$.

(Để kiểm tra rằng (iii) suy ra (i), hãy chứng minh rằng $f$ là đều liên tục. Khi đó xét bao đóng của các $\boldsymbol{\gamma }(x)f$; nó là một không gian mêtric compact K. Hãy chứng minh rằng $\varrho :x\mapsto \boldsymbol{\gamma }(x)$ là một đồng cấu liên tục của G vào nhóm các đẳng cự của K; sau đó áp dụng câu hỏi b) để mở rộng $\varrho$ thành $\widetilde{\varrho}$ và đặt $\widetilde{f}(x) = (\widetilde{\varrho}(x)f)(e)$.)

Một hàm $f\in \mathscr{C}_b(G)$ thỏa mãn các điều kiện tương đương này được gọi là gần tuần hoàn.

d) Cho $f$ là một hàm gần tuần hoàn trên G. Với mọi $\varepsilon >0$ và với mọi tập con compact F của G, tồn tại $x\in G$ - F sao cho $\|\boldsymbol{\gamma }(x)f-f\|\leqslant \varepsilon$.

e) Tập hợp các hàm gần tuần hoàn trên G là một đại số con sao của $\mathscr{C}_b(G)$.