Exercice 55, § 1

On garde les notations de l’exercice précédent. On munit $\widetilde{G}$ de la mesure de Haar normalisée $\nu$. Soient $f$ une fonction presque périodique sur G et $\widetilde{f}$ son extension à $\widetilde{G}$. On pose

a) Soit $\chi \in \widehat{G}$. La fonction $\chi f$ est presque périodique. On définit alors $\mathscr{P}(f)(\chi ) = A(\chi f)$. On a

et en particulier $A(\chi f) = 0$ sauf pour un ensemble dénombrable de $\chi$.

b) Soit $f$ une fonction presque périodique sur $\mathbf{R}$. Pour tout $y\in \mathbf{R}$, on a

1 $\int^T$

$\mathscr{P}(f)(y) =$ lim $f(x)e^{-2i\pi xy}dx$.

c) Soit Λ un sous-ensemble fini de $\mathbf{R}$. La fonction définie sur $\mathbf{R}$ par

est presque périodique sur $\mathbf{R}$; déterminer en fonction de Λ l’ensemble des $y\in \mathbf{R}$ tels que $\mathscr{P}(f)(y)\not= 0$.