Bài tập 55, § 1

Ta giữ các ký hiệu của bài tập trước. Trang bị cho $\widetilde{G}$ độ đo Haar chuẩn hóa $\nu$. Cho $f$ là một hàm gần tuần hoàn trên G và $\widetilde{f}$ là mở rộng của nó lên $\widetilde{G}$. Đặt

a) Cho $\chi \in \widehat{G}$. Hàm $\chi f$ là gần tuần hoàn. Khi đó ta định nghĩa $\mathscr{P}(f)(\chi ) = A(\chi f)$. Ta có

và đặc biệt $A(\chi f) = 0$ trừ trên một tập đếm được các $\chi$.

b) Cho $f$ là một hàm gần tuần hoàn trên $\mathbf{R}$. Với mọi $y\in \mathbf{R}$, ta có

1 $\int^T$

$\mathscr{P}(f)(y) =$ lim $f(x)e^{-2i\pi xy}dx$.

c) Cho Λ là một tập con hữu hạn của $\mathbf{R}$. Hàm được định nghĩa trên $\mathbf{R}$ bởi

là gần tuần hoàn trên $\mathbf{R}$; xác định theo Λ tập hợp các $y\in \mathbf{R}$ sao cho $\mathscr{P}(f)(y)\not= 0$.