Exercice 56, § 1

On pose

$k(z) =($ sin($\pi z\pi z$))$^2$

si $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$ et $k(z) = 1$ si $z\in \mathbf{Z}$. La fonction $k$ appartient à l’espace $\mathscr{E}_{1/2}$ (exercice 36).

a) Pour tout nombre complexe $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, on a

$\sum\frac{1}{(z-n)^2}=($sin($\pi \pi z$))$^2$

$n\in \mathbf{Z}$

(appliquer la formule de Poisson).

b) Pour $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, on définit

$h(z) =($sin($\pi \pi z$))$^2\{(\sum_{n\in\mathbf{Z}}(z$s($-nn$))$^2+\frac{2}{z}\}$,

où s($n$) désigne la fonction signe. La fonction $h$ se prolonge en une fonction entière appartenant à l’espace $\mathscr{E}_2$. On pose $b=h+k$.

c) Pour tout $x\in \mathbf{R}$, on a $1-k(x)\leqslant h(x)\leqslant 1$.

d) Pour tout $x\in \mathbf{R}$, on a $|$s($x$)$-h(x)|\leqslant k(x)$.

e) On a $b\geqslant$ s ; la fonction $b-$ s est intégrable sur $\mathbf{R}$ et vérifie $\int(b-$ s) = 1. f) Soient $\alpha < \beta$ des nombres réels et $\varphi$ la fonction caractéristique de l’intervalle $[\alpha , \beta ]$. La fonction $f_{\alpha ,\beta}(z) =\frac{1}{2}(b(\beta -z) +b(z-\alpha ))$ vérifie $\varphi \leqslant f_{\alpha ,\beta}$ et $\int_{\mathbf{R}}(f_{\alpha ,\beta}-\varphi ) = 1$. g) Il existe une fonction entière $\sigma$ telle que $f_{\alpha ,\beta}(x) =|\sigma (x)|^2$ pour tout $x\in \mathbf{R}$. La transformée de Fourier de la restriction de $\sigma$ à $\mathbf{R}$ est à support dans $[-1/2,1/2]$.