Bài tập 56, § 1

Ta đặt

$k(z) =($ sin($\pi z\pi z$))$^2$

nếu $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$ và $k(z) = 1$ nếu $z\in \mathbf{Z}$. Hàm $k$ thuộc không gian $\mathscr{E}_{1/2}$ (bài tập 36).

(a) Với mọi số phức $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, ta có

$\sum\frac{1}{(z-n)^2}=($sin($\pi \pi z$))$^2$

$n\in \mathbf{Z}$

(áp dụng công thức Poisson).

(b) Với $z\in \mathbf{C}-\mathbf{Z}$, ta định nghĩa

$h(z) =($sin($\pi \pi z$))$^2\{(\sum_{n\in\mathbf{Z}}(z$s($-nn$))$^2+\frac{2}{z}\}$,

trong đó s($n$) ký hiệu hàm dấu. Hàm $h$ mở rộng thành một hàm nguyên thuộc không gian $\mathscr{E}_2$. Ta đặt $b=h+k$.

(c) Với mọi $x\in \mathbf{R}$, ta có $1-k(x)\leqslant h(x)\leqslant 1$.

(d) Với mọi $x\in \mathbf{R}$, ta có $|$s($x$)$-h(x)|\leqslant k(x)$.

(e) Ta có $b\geqslant$ s ; hàm $b-$ s khả tích trên $\mathbf{R}$ và thỏa mãn $\int(b-$ s) = 1. f) Cho $\alpha < \beta$ là các số thực và cho $\varphi$ là hàm đặc số của khoảng $[\alpha , \beta ]$. Hàm $f_{\alpha ,\beta}(z) =\frac{1}{2}(b(\beta -z) +b(z-\alpha ))$ thỏa mãn $\varphi \leqslant f_{\alpha ,\beta}$ và $\int_{\mathbf{R}}(f_{\alpha ,\beta}-\varphi ) = 1$. g) Tồn tại một hàm nguyên $\sigma$ sao cho $f_{\alpha ,\beta}(x) =|\sigma (x)|^2$ với mọi $x\in \mathbf{R}$. Biến đổi Fourier của hạn chế của $\sigma$ vào $\mathbf{R}$ có giá trong $[-1/2,1/2]$.