Exercice 57, § 1

Étiquette 02LX, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 02LX].

Théories spectrales, II, p. 294

On garde les notations de l’exercice précédent. Soient M, $N\geqslant 1$ des entiers et soit $(a_n)_{M<n\leqslant M+N}$ une famille de nombres complexes. Soient $\delta >0$ un nombre réel, $R\geqslant 1$ un entier et $(\xi_r)_{1\leqslant r\leqslant R}$ une famille de nombres réels tels que inf $_{h\in\mathbf{Z}}|\xi_r-\xi_{r'}-h|\geqslant \delta$ pour tous $r\not=r'$ .

Pour tout $x\in \mathbf{R}$ , posons

S(x) =\sum_{n=M+1}^{M+N}a_ne^{2i\pi nx}

a) On a

\sum_{r=1}^R|S(\xi_r)|^2\leqslant (N +\delta^{-1}-1)\sum_{n=M+1}^{M+N}|a_n|^2

(« inégalité de grand crible »).

(Considérer la fonction $\tau :z\mapsto \sigma (\delta z)$ , où $\sigma$ est la fonction des questions f) et g) de l’exercice précédent pour l’intervalle $[\alpha , \beta ] = [\delta (M + 1), \delta (M + N)]$ ; poser

S^*(x) =\sum_{n=M+1}^{M+N}a(n)\tau (n)^{-1}e^{2i\pi nx}

et observer que

S(x) =\int_{-\delta /2}^{\delta /2}\widehat{\tau}(t)S^*(t+x)dt

Poser $x=\xi_r$ , appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et sommer sur $r.)$

b) La constante $N +\delta^{-1}-1$ est optimale.

Solution

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