Bài tập 57, § 1

Nhãn 02LX, cố định. Trích dẫn là [Bourbaki, Tag 02LX].

Các lý thuyết phổ, II, p. 294

Giữ lại các ký hiệu của bài tập trước. Cho M, $N\geqslant 1$ là các số nguyên và cho $(a_n)_{M<n\leqslant M+N}$ là một họ các số phức. Cho $\delta >0$ là một số thực, $R\geqslant 1$ là một số nguyên và $(\xi_r)_{1\leqslant r\leqslant R}$ là một họ các số thực sao cho inf $_{h\in\mathbf{Z}}|\xi_r-\xi_{r'}-h|\geqslant \delta$ với mọi $r\not=r'$ .

Với mọi $x\in \mathbf{R}$ , đặt

S(x) =\sum_{n=M+1}^{M+N}a_ne^{2i\pi nx}

a) Ta có

\sum_{r=1}^R|S(\xi_r)|^2\leqslant (N +\delta^{-1}-1)\sum_{n=M+1}^{M+N}|a_n|^2

("bất đẳng thức sàng lớn").

(Xét hàm $\tau :z\mapsto \sigma (\delta z)$ , trong đó $\sigma$ là hàm của các câu hỏi f) và g) của bài tập trước trên khoảng $[\alpha , \beta ] = [\delta (M + 1), \delta (M + N)]$ ; đặt

S^*(x) =\sum_{n=M+1}^{M+N}a(n)\tau (n)^{-1}e^{2i\pi nx}

và nhận xét rằng

S(x) =\int_{-\delta /2}^{\delta /2}\widehat{\tau}(t)S^*(t+x)dt

Đặt $x=\xi_r$ , áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và lấy tổng theo $r$ .)

b) Hằng $N +\delta^{-1}-1$ là tối ưu.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Được trích dẫn bởi

Không có.

Trích dẫn đến

Không có.