Exercice 58, § 1

Pour tout nombre réel non nul $\lambda$, on note $\mu_{\lambda}$ la mesure de probabilité discrète sur $\mathbf{R}$ telle que $\mu_{\lambda}(\lambda ) =\mu_{\lambda}(-\lambda ) =\frac{1}{2}$.

On fixe $\lambda \in ]0,1[$.

a) Posons $\nu_0=\mu_1$ et $\nu_{n+1}=\mu_{\lambda^{n+1}}*\nu_n$ pour tout entier $n\geqslant 0$. La suite $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ converge vers une mesure de probabilité $\nu_{\lambda}$ sur $\mathbf{R}$. La fonction caractéristique de $\nu_{\lambda}$ est la fonction sur $\mathbf{R}$ définie par

$\varphi_{\lambda}(x) =\prod_{n=0}^{+\infty}$ cos($\lambda^nx$).

b) La mesure $\nu_{\lambda}$ est l’unique mesure positive $\nu$ de masse totale 1 sur $\mathbf{R}$ telle que

où $\ell_1$ (resp. $\ell_2$) est l’application $x\mapsto \lambda x-1$ (resp. $x\mapsto \lambda x+ 1$) de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$.

c) Si la mesure $\nu_{\lambda}$ n’est pas une mesure de base la mesure de Lebesgue, alors $\nu_{\lambda}$ est étrangère à la mesure de Lebesgue. (Considérer la décomposition de Lebesgue de $\nu_{\lambda}$ par rapport à la mesure de Lebesgue, cf. INT, V, §5, n$^o7$, th. 3.)

d) Si $0< \lambda <\frac{1}{2}$, alors la mesure $\nu_{\lambda}$ est étrangère à la mesure de Lebesgue. e) Si $\lambda =\frac{1}{2}$, alors la mesure $\nu_{\lambda}$ est égale à la mesure uniforme sur $[-2,2]$. Si $\lambda >1/2$, le support de $\nu_{\lambda}$ est l’intervalle $[-(1-\lambda )^{-1},(1-\lambda )^{-1}]$.

f) Un nombre de Pisot est un entier algébrique réel $x$ tel que tous les conjugués $y\in \mathbf{C}$ de $x$, autre que $x$, vérifient $|y|<1$. Si $\lambda^{-1}$ est un nombre de Pisot, alors la fonction $\varphi_{\lambda}$ ne tend pas vers 0 à l’infini. En particulier, la mesure $\nu_{\lambda}$ est étrangère à la mesure de Lebesgue.

g) Il existe $\lambda >1/2$ tel que $\nu_{\lambda}$ est étrangère à la mesure de Lebesgue.

On suppose désormais que $\varphi_{\lambda}$ ne tend pas vers 0 à l’infini et on note $\theta = 1/\lambda$. Pour tout nombre réel $x$, on note $\langle x\rangle$ l’unique nombre réel dans $[0,1[$ tel que $x- \langle x\rangle \in \mathbf{Z}$.

h) Il existe un nombre réel $u\not= 0$ tel que la série de terme général sin($u\theta^n$)$^2$ converge ; la série de terme général $\langle u\theta^n\rangle$ converge.

i) Pour tout $n\in \mathbf{N}$, soit $c_n$ un entier tel que $|u\theta^n-c_n|\leqslant \frac{1}{2}$. La série formelle $g(z) =\sum c_nz^n$ est une fraction rationnelle. (Utiliser le critère de A, IV, p. 85, exercice 1, et l’inégalité de Hadamard, EVT, V, p. 37, cor. 3, pour montrer que les déterminants de Hankel qui apparaissent tendent vers 0 ; conclure en observant que ces déterminants sont entiers.)

j) Il existe des polynômes à coefficients entiers $f_1$ et $f_2$ tels que $g=f_1/f_2$ et $f_2(0) = 1$.

k) Le nombre $\theta$ est un nombre de Pisot (« théorème de Salem »). (Remarquer que $f_2(\lambda ) = 0$ et que les autres racines de $f_2$ sont de module $>1$.)