Bài tập 58, § 1

Với mọi số thực khác không $\lambda$, ký hiệu $\mu_{\lambda}$ là độ đo xác suất rời rạc trên $\mathbf{R}$ sao cho $\mu_{\lambda}(\lambda ) =\mu_{\lambda}(-\lambda ) =\frac{1}{2}$.

Cố định $\lambda \in ]0,1[$.

a) Đặt $\nu_0=\mu_1$ và $\nu_{n+1}=\mu_{\lambda^{n+1}}*\nu_n$ với mọi số nguyên $n\geqslant 0$. Dãy $(\nu_n)_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ tới một độ đo xác suất $\nu_{\lambda}$ trên $\mathbf{R}$. Hàm đặc trưng của $\nu_{\lambda}$ là hàm trên $\mathbf{R}$ được xác định bởi

$\varphi_{\lambda}(x) =\prod_{n=0}^{+\infty}$ cos($\lambda^nx$).

b) Độ đo $\nu_{\lambda}$ là độ đo dương duy nhất $\nu$ có khối lượng toàn phần 1 trên $\mathbf{R}$ sao cho

trong đó $\ell_1$ (tương ứng $\ell_2$) là ánh xạ $x\mapsto \lambda x-1$ (tương ứng $x\mapsto \lambda x+ 1$) từ $\mathbf{R}$ vào $\mathbf{R}$.

c) Nếu độ đo $\nu_{\lambda}$ không phải là một độ đo có cơ sở Lebesgue, thì $\nu_{\lambda}$ là kỳ dị đối với độ đo Lebesgue. (Xét phân tích Lebesgue của $\nu_{\lambda}$ đối với độ đo Lebesgue, xem INT, V, §5, n$^o7$, th. 3.)

d) Nếu $0< \lambda <\frac{1}{2}$, thì độ đo $\nu_{\lambda}$ là kỳ dị đối với độ đo Lebesgue. e) Nếu $\lambda =\frac{1}{2}$, thì độ đo $\nu_{\lambda}$ bằng độ đo đều trên $[-2,2]$. Nếu $\lambda >1/2$, giá đỡ của $\nu_{\lambda}$ là khoảng $[-(1-\lambda )^{-1},(1-\lambda )^{-1}]$.

f) Một số Pisot là một số nguyên đại số thực $x$ sao cho mọi số liên hợp $y\in \mathbf{C}$ của $x$, khác với $x$, đều thỏa mãn $|y|<1$. Nếu $\lambda^{-1}$ là một số Pisot, thì hàm $\varphi_{\lambda}$ không tiến tới 0 tại vô cực. Đặc biệt, độ đo $\nu_{\lambda}$ là kỳ dị đối với độ đo Lebesgue.

g) Tồn tại $\lambda >1/2$ sao cho $\nu_{\lambda}$ là kỳ dị đối với độ đo Lebesgue.

Từ đây về sau giả sử rằng $\varphi_{\lambda}$ không tiến tới 0 tại vô cực, và đặt $\theta = 1/\lambda$. Với mọi số thực $x$, ký hiệu $\langle x\rangle$ là số thực duy nhất trong $[0,1[$ sao cho $x- \langle x\rangle \in \mathbf{Z}$.

h) Tồn tại một số thực $u\not= 0$ sao cho chuỗi có số hạng tổng quát sin($u\theta^n$)$^2$ hội tụ; chuỗi có số hạng tổng quát $\langle u\theta^n\rangle$ hội tụ.

i) Với mọi $n\in \mathbf{N}$, cho $c_n$ là một số nguyên sao cho $|u\theta^n-c_n|\leqslant \frac{1}{2}$. Chuỗi hình thức $g(z) =\sum c_nz^n$ là một phân thức hữu tỉ. (Sử dụng tiêu chuẩn của A, IV, p. 85, bài tập 1, và bất đẳng thức Hadamard, EVT, V, p. 37, hệ quả 3, để chỉ ra rằng các định thức Hankel xuất hiện tiến tới 0; kết luận bằng cách nhận thấy rằng các định thức này là các số nguyên.)

j) Tồn tại các đa thức với các hệ số nguyên $f_1$ và $f_2$ sao cho $g=f_1/f_2$ và $f_2(0) = 1$.

k) Số $\theta$ là một số Pisot ("định lý Salem"). (Nhận thấy rằng $f_2(\lambda ) = 0$ và rằng các nghiệm khác của $f_2$ có môđun $>1$.)