Exercice 59, § 1

Soit $n\geqslant 1$ un entier et munissons $\mathbf{R}^n$ de la norme euclidienne. On note $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^n$.

Soit $r >0$. Un empilement de sphères de rayon $r$ dans $\mathbf{R}^n$ est un ensemble $\mathscr{P}$ de parties disjointes de $\mathbf{R}^n$, tel que tout $S\in \mathscr{P}$ est une boule fermée de rayon $r$. On dit que $\mathscr{P}$ est périodique s’il existe un réseau $\Lambda \subset \mathbf{R}^n$ tel que $S +h\in \mathscr{P}$ pour tout $S\in \mathscr{P}$ et tout $h\in \Lambda$.

Soit $A_{\mathscr{P}}$ la réunion des éléments de $\mathscr{P}$. C’est un ensemble mesurable. On appelle densité de $\mathscr{P}$ le nombre réel

$\Delta (\mathscr{P}) =$ lim sup$_{R\rightarrow+\infty}\frac{\mu(A_{\mathscr{P}}\cap B_R)}{\mu(B_R)}$ où $B_R$ est la boule fermée de rayon R dans $\mathbf{R}^n$. On note $\Delta_n=$ sup$_{\mathscr{P}}\Delta (\mathscr{P})$. a) On a

$\Delta_n=$ sup $\Delta (\mathscr{P})$.

$\mathscr{P}$ périodique

b) Soit $\mathscr{P}$ un empilement de sphères périodique, invariant par le réseau Λ. Soit $C\subset \mathbf{R}^n$ un ensemble de représentants des centres des boules $S\in \mathscr{P}$ modulo Λ. On a

$\Delta (\mathscr{P}) =\mu(B_1)r^n$Card(C)V(Λ)

où V(Λ) est le covolume de Λ.

c) Soit $a >0$ un nombre réel. Soit $f:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}$ une fonction de Schwartz telle que

(i) On a $f(x)\leqslant 0$ si $\|x\|\geqslant 2a$;

(ii) La transformée de Fourier de $f$ est à valeurs réelles positives et vérifie $\widehat{f}(0)>0$.

Alors on a

(Il suffit de considérer les empilements de sphères périodiques de rayon $a$; soit $\mathscr{P}$ l’un d’entre eux, et Λ, $C\subset \mathbf{R}^n$ comme dans la question précédente ; à l’aide de la formule de Poisson, démontrer que

$(c,d)\in C^2n\in \Lambda h\in \Lambda^*c\in C$

où $\Lambda^*$ est le réseau associé, et conclure.)