Bài tập 59, § 1

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên và trang bị cho $\mathbf{R}^n$ chuẩn Euclid. Ký hiệu $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$.

Cho $r >0$. Một cách xếp cầu bán kính $r$ trong $\mathbf{R}^n$ là một tập hợp $\mathscr{P}$ gồm các phần rời nhau của $\mathbf{R}^n$, sao cho mọi $S\in \mathscr{P}$ đều là một quả cầu đóng bán kính $r$. Ta nói rằng $\mathscr{P}$ là tuần hoàn nếu tồn tại một dàn $\Lambda \subset \mathbf{R}^n$ sao cho $S +h\in \mathscr{P}$ với mọi $S\in \mathscr{P}$ và mọi $h\in \Lambda$.

Cho $A_{\mathscr{P}}$ là hợp của các phần tử của $\mathscr{P}$. Đó là một tập hợp đo được. Ta gọi mật độ của $\mathscr{P}$ là số thực

$\Delta (\mathscr{P}) =$ lim sup$_{R\rightarrow+\infty}\frac{\mu(A_{\mathscr{P}}\cap B_R)}{\mu(B_R)}$ trong đó $B_R$ là quả cầu đóng bán kính R trong $\mathbf{R}^n$. Đặt $\Delta_n=$ sup$_{\mathscr{P}}\Delta (\mathscr{P})$. (a) Ta có

$\Delta_n=$ sup $\Delta (\mathscr{P})$.

$\mathscr{P}$ tuần hoàn

(b) Cho $\mathscr{P}$ là một cách xếp cầu tuần hoàn, bất biến dưới dàn Λ. Cho $C\subset \mathbf{R}^n$ là một tập đại diện của các tâm của các quả cầu $S\in \mathscr{P}$ theo modulo Λ. Ta có

$\Delta (\mathscr{P}) =\mu(B_1)r^n$Card(C)V(Λ)

trong đó V(Λ) là đồng thể tích của Λ.

(c) Cho $a >0$ là một số thực. Cho $f:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm Schwartz sao cho

(i) Ta có $f(x)\leqslant 0$ nếu $\|x\|\geqslant 2a$;

(ii) Biến đổi Fourier của $f$ nhận các giá trị thực dương và thỏa mãn $\widehat{f}(0)>0$.

Khi đó ta có

(Chỉ cần xét các cách xếp cầu tuần hoàn bán kính $a$; cho $\mathscr{P}$ là một cách xếp cầu như vậy, và Λ, $C\subset \mathbf{R}^n$ như trong câu hỏi trước; dùng công thức Poisson, hãy chứng minh rằng

$(c,d)\in C^2n\in \Lambda h\in \Lambda^*c\in C$

trong đó $\Lambda^*$ là dàn liên kết, và kết luận.)