Exercice 61, § 1

Soit $r\geqslant 1$ un entier. Soit $A = (a_{i,j})$ une matrice symétrique définie positive de type $(r, r)$ à coefficients entiers, et soit $N\geqslant 1$ un entier tel que la matrice $A^*=$ NA$^{-1}$ soit également à coefficients entiers. On note Q (resp. $\widetilde{Q}$) la forme quadratique entière associée à A (resp. à $A^{-1}$), c’est-à-dire que l’on a $Q(x) =^txAx$ pour tout $x\in \mathbf{Z}^r$. On note $(a, b)\mapsto \langle a|b\rangle_A$ la forme bilinéaire associée à A, de sorte que $\langle a|b\rangle_A=^taAb$.

On note $\mathbf{H}$ l’ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\mathscr{I}(z)>0$. C’est un ouvert de $\mathbf{C}$. On note log$:\mathbf{H}\rightarrow \mathbf{C}$ la restriction à $\mathbf{H}$ de la détermination principale du logarithme (FVR, III, p. 10). Soit $k\in \mathbf{N}$ un entier impair. Pour $z\in \mathbf{H}$, on note $z^k=$ exp($k$ log($z$)).

a) Le groupe SL$_2(\mathbf{Z})$ agit transitivement sur $\mathbf{H}$ par

$(a bc d)\cdot z=\frac{az + b}{cz + d},(a bc d)\in$ SL$_2(\mathbf{Z})$

(cf. TA, I, p. 150, exercice 5).

b) Pour tout nombre complexe $z\in \mathbf{H}$ et tout $x\in \mathbf{Z}^r$, la série

$\sum_{m\in\mathbf{Z}^r}$ exp($i\pi Q(m)z$)

$m\equiv x$ mod$.N$

converge absolument et uniformément sur les compacts.

On note $\theta_A(z;x)$ ou $\theta_Q(z;x)$ la somme de cette série (« fonction thêta associée à Q »). C’est une fonction holomorphe sur $\mathbf{H}$. c) Pour tout $y\in \mathbf{Z}^r$, on a

$\sum_{_r}$ exp($i\pi Q(m+y)z$) $=\surd$det(A)1 $(\frac{i}{z})\sum^{r/2_r}$ exp$(-i\pi \frac{\widetilde{Q}(m)}{z}+m\cdot y)$,

$m\in \mathbf{Z}m\in \mathbf{Z}$

(appliquer la formule de Poisson et l’exercice 1).

d) On note H le sous-groupe de $(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^r$ formé des éléments $\alpha \in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^r$ tels que $A\alpha = 0$ dans $\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$. Le groupe H est de cardinal det(A). Tout caractère de H est de la forme

$\psi_{\beta}(\alpha ) =$ exp$(2i\pi \frac{\langle\alpha|\beta\rangle_A}{N^2})$,

où $\beta \in H$.

e) Pour tout $\alpha \in H$ et $z\in \mathbf{H}$, on a $\theta_Q(z+ 2;\alpha ) =$ exp$(\frac{2i\pi Q(\alpha)}{N^2})\theta_Q(z;\alpha )$. f) Pour tout $\alpha \in H$ et $z\in \mathbf{H}$, on a

$\theta_Q(-\frac{1}{z};\alpha )=\surd$det(A)1 $(-iz)^{r/2}\sum\psi_{\beta}(\alpha )\theta_Q(z;\beta )$.

$\beta \in H$

g) Soit $g=\in$ SL$_2(\mathbf{Z})$ tel que $c\not= 0,d >0$ et $b\equiv c\equiv 0$ mod$.2$. Pour

$\alpha \in H$ et $z\in \mathbf{H}$, on a

$\theta_Q(g\cdot z;\alpha ) =d^{r/2}$ det(A)1 $(cz+d)^{r/2}\sum\Phi (\alpha , \beta )\theta_Q(z;\beta )$,

$\beta \in H$

où

$\Phi (\alpha , \beta ) =\sum\psi_{\gamma}(\alpha )(\sum$ exp$(\frac{i\pi}{dN^2}(bQ(\delta ) + 2\langle \gamma |\delta \rangle_A-cQ(\gamma ))))$

$\gamma \in H\delta$ mod$. dN$

$\delta \equiv \alpha$ mod$.N$

(considérer d’abord $\theta_Q(\widetilde{g}\cdot z;\alpha )$ où $\widetilde{g}=g$ ; remarquer la formule

1 0

$d\widetilde{g}\cdot z=b-(dz-c)^{-1}$, et appliquer la question précédente ; noter que $\Phi (\alpha , \beta )$ ne dépend que de $\beta$ modulo N).

h) Supposons de plus que $c\equiv 0$ mod$.2N$. Alors

où

$\tau =\sum$ exp$(\frac{i\pi bQ(\delta)}{dN^2})$.

$\delta$ mod$. dN$ $\delta \equiv x$ mod$.N$

i) Supposons de plus que $d$ est impair. On a $\tau =$ exp$(\frac{i\pi abQ(\alpha)}{N^2})\tau_Q(c;d)$, où

$x\in (\mathbf{Z}/d\mathbf{Z})^r$ (« somme de Gauss »). j) Écrivons $d=p_1\cdots p_k$, où $p_1, . . .p_k$ sont des nombres premiers. On note

$k$ $(\frac{n}{d})=\prod\ell_{p_i}(n)$ $i=1$

où, pour tout nombre premier impair $p$, on note $\ell_p$ l’unique caractère d’ordre 2 de $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*$, étendu à $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ en posant $\ell_p(0) = 0$ (« symbole de Jacobi »). Si $d$ et $2c$ det(A) sont premiers entre eux, alors

$\tau_Q(c, d) =($ det(A)$d)(\overline{\varepsilon}_d(\frac{2c}{d})\surd \overline{d})^r$,

où

$\{1$ si $d\equiv 1$ mod$.4$

$i$ si $d\equiv -1$ mod$.4$.

(Diagonaliser la forme quadratique et utiliser l’exercice précédent.)

k) Si $g$ est congrue à l’identité modulo 4N, alors

Cela signifie que l’application $z\mapsto \theta_q(z;\alpha )$ est une forme modulaire holomorphe de poids $r/2$ et de niveau 4N. (FM, en préparation.)