Bài tập 61, § 1

Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên. Cho $A = (a_{i,j})$ là một ma trận xác định dương đối xứng kiểu $(r, r)$ với các hệ số nguyên, và cho $N\geqslant 1$ là một số nguyên sao cho ma trận $A^*=$ NA$^{-1}$ cũng có các hệ số nguyên. Ta ký hiệu Q (tương ứng $\widetilde{Q}$) là dạng toàn phương nguyên liên kết với A (tương ứng với $A^{-1}$), nghĩa là ta có $Q(x) =^txAx$ với mọi $x\in \mathbf{Z}^r$. Ta ký hiệu bởi $(a, b)\mapsto \langle a|b\rangle_A$ dạng song tuyến tính liên kết với A, sao cho $\langle a|b\rangle_A=^taAb$.

Ta ký hiệu bởi $\mathbf{H}$ tập hợp các số phức $z$ sao cho $\mathscr{I}(z)>0$. Đây là một tập con mở của $\mathbf{C}$. Ta ký hiệu bởi log$:\mathbf{H}\rightarrow \mathbf{C}$ hạn chế trên $\mathbf{H}$ của xác định chính của logarit (FVR, III, p. 10). Cho $k\in \mathbf{N}$ là một số nguyên lẻ. Với $z\in \mathbf{H}$, ta ký hiệu bởi $z^k=$ exp($k$ log($z$)).

a) Nhóm SL$_2(\mathbf{Z})$ tác động bắc cầu trên $\mathbf{H}$ bởi

$(a bc d)\cdot z=\frac{az + b}{cz + d},(a bc d)\in$ SL$_2(\mathbf{Z})$

(xem TA, I, p. 150, bài tập 5).

b) Với mọi số phức $z\in \mathbf{H}$ và mọi $x\in \mathbf{Z}^r$, chuỗi

$\sum_{m\in\mathbf{Z}^r}$ exp($i\pi Q(m)z$)

$m\equiv x$ mod$.N$

hội tụ tuyệt đối và đều trên các tập compact.

Ta ký hiệu bởi $\theta_A(z;x)$ hoặc $\theta_Q(z;x)$ tổng của chuỗi này ("hàm theta liên kết với Q"). Nó là một hàm chỉnh hình trên $\mathbf{H}$. c) Với mọi $y\in \mathbf{Z}^r$, ta có

$\sum_{_r}$ exp($i\pi Q(m+y)z$) $=\surd$det(A)1 $(\frac{i}{z})\sum^{r/2_r}$ exp$(-i\pi \frac{\widetilde{Q}(m)}{z}+m\cdot y)$,

$m\in \mathbf{Z}m\in \mathbf{Z}$

(áp dụng công thức Poisson và bài tập 1).

d) Ta ký hiệu bởi H nhóm con của $(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^r$ được tạo bởi các phần tử $\alpha \in (\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})^r$ sao cho $A\alpha = 0$ trong $\mathbf{Z}/N\mathbf{Z}$. Nhóm H có lực lượng det(A). Mọi đặc trưng của H đều có dạng

$\psi_{\beta}(\alpha ) =$ exp$(2i\pi \frac{\langle\alpha|\beta\rangle_A}{N^2})$,

trong đó $\beta \in H$.

e) Với mọi $\alpha \in H$ và $z\in \mathbf{H}$, ta có $\theta_Q(z+ 2;\alpha ) =$ exp$(\frac{2i\pi Q(\alpha)}{N^2})\theta_Q(z;\alpha )$. f) Với mọi $\alpha \in H$ và $z\in \mathbf{H}$, ta có

$\theta_Q(-\frac{1}{z};\alpha )=\surd$det(A)1 $(-iz)^{r/2}\sum\psi_{\beta}(\alpha )\theta_Q(z;\beta )$.

$\beta \in H$

g) Cho $g=\in$ SL$_2(\mathbf{Z})$ sao cho $c\not= 0,d >0$ và $b\equiv c\equiv 0$ mod$.2$. Với

$\alpha \in H$ và $z\in \mathbf{H}$, ta có

$\theta_Q(g\cdot z;\alpha ) =d^{r/2}$ det(A)1 $(cz+d)^{r/2}\sum\Phi (\alpha , \beta )\theta_Q(z;\beta )$,

$\beta \in H$

trong đó

$\Phi (\alpha , \beta ) =\sum\psi_{\gamma}(\alpha )(\sum$ exp$(\frac{i\pi}{dN^2}(bQ(\delta ) + 2\langle \gamma |\delta \rangle_A-cQ(\gamma ))))$

$\gamma \in H\delta$ mod$. dN$

$\delta \equiv \alpha$ mod$.N$

(trước hết xét $\theta_Q(\widetilde{g}\cdot z;\alpha )$ trong đó $\widetilde{g}=g$ ; chú ý công thức

1 0

$d\widetilde{g}\cdot z=b-(dz-c)^{-1}$, và áp dụng bài tập trước ; chú ý rằng $\Phi (\alpha , \beta )$ chỉ phụ thuộc vào $\beta$ modulo N).

h) Giả sử thêm rằng $c\equiv 0$ mod$.2N$. Khi đó

trong đó

$\tau =\sum$ exp$(\frac{i\pi bQ(\delta)}{dN^2})$.

$\delta$ mod$. dN$ $\delta \equiv x$ mod$.N$

i) Giả sử thêm rằng $d$ là lẻ. Ta có $\tau =$ exp$(\frac{i\pi abQ(\alpha)}{N^2})\tau_Q(c;d)$, trong đó

$x\in (\mathbf{Z}/d\mathbf{Z})^r$ ("tổng Gauss"). j) Viết $d=p_1\cdots p_k$, trong đó $p_1, . . .p_k$ là các số nguyên tố. Ta ký hiệu

$k$ $(\frac{n}{d})=\prod\ell_{p_i}(n)$ $i=1$

trong đó, với mọi số nguyên tố lẻ $p$, $\ell_p$ ký hiệu ký tự duy nhất cấp 2 của $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*$, được mở rộng đến $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ bằng cách đặt $\ell_p(0) = 0$ ("ký hiệu Jacobi"). Nếu $d$ và $2c$ det(A) nguyên tố cùng nhau, thì

$\tau_Q(c, d) =($ det(A)$d)(\overline{\varepsilon}_d(\frac{2c}{d})\surd \overline{d})^r$,

trong đó

$\{1$ nếu $d\equiv 1$ mod$.4$

$i$ nếu $d\equiv -1$ mod$.4$.

(Chéo hóa dạng toàn phương và dùng bài tập trước.)

k) Nếu $g$ đồng dư với đơn vị modulo 4N, thì

Điều này có nghĩa là ánh xạ $z\mapsto \theta_q(z;\alpha )$ là một dạng môđun chỉnh hình có trọng số $r/2$ và cấp 4N. (FM, đang được chuẩn bị.)