Exercice 62, § 1

Identifions $\mathbf{T}$ avec l’intervalle $]-1/2,1/2]$. Soit $f$ la fonction sur $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ définie par $f(x) =$ s($x$) (fonction signe). Soit $s_n$ la somme partielle symétrique

de la série de Fourier de $f$.

a) Pour tout $x\not= 0$ dans $\mathbf{T}$, on a $s_n(x)\rightarrow f(x)$ quand $n\rightarrow +\infty$.

b) Soient $n\geqslant 1$ et $0< x\leqslant 1/2$. On a

$s_{2n}(x) =$ sin(22 sin($\pi nx\pi x$)).

c) On a

lim$_{n\rightarrow+\infty}s_{2n}(\frac{1}{4n})= 2\int_0^{1/2}$ sin(2$\pi x\pi x$)$dx$,

et cette limite appartient à l’intervalle $]1,2[$ (« phénomène de Gibbs »).