Bài tập 62, § 1

Đồng nhất $\mathbf{T}$ với khoảng $]-1/2,1/2]$. Cho $f$ là hàm trên $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ được xác định bởi $f(x) =$ s($x$) (hàm dấu). Gọi $s_n$ là tổng riêng đối xứng

của chuỗi Fourier của $f$.

a) Với mọi $x\not= 0$ trong $\mathbf{T}$, ta có $s_n(x)\rightarrow f(x)$ khi $n\rightarrow +\infty$.

b) Cho $n\geqslant 1$ và $0< x\leqslant 1/2$. Ta có

$s_{2n}(x) =$ sin(22 sin($\pi nx\pi x$)).

c) Ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}s_{2n}(\frac{1}{4n})= 2\int_0^{1/2}$ sin(2$\pi x\pi x$)$dx$,

và giới hạn này thuộc khoảng $]1,2[$ (“hiện tượng Gibbs”).