Exercice 63, § 1

Soit G le sous-groupe de $\mathbf{T}^{\mathbf{N}}$ formé des éléments $x= (x_n)$ tels que $2x_n=$ 0 pour tout $n\in \mathbf{N}$ sauf au plus un nombre fini.

a) Pour tout ensemble fini $\Lambda \subset \mathbf{N}$, soit $U_{\Lambda}\subset G$ l’ensemble des $(x_n)$ tels que $x_n= 1$ pour $n\in \Lambda$ et $2x_n= 0$ pour $n \notin \Lambda$. Il existe une structure de groupe topologique sur G telle que la famille des ensembles $U_{\Lambda}$ est une base de voisinages ouverts de $e$.

b) Le groupe topologique G est localement compact.

c) Le groupe G n’est pas divisible.

d) Le groupe dual $\widehat{G}$ est sans torsion.