Bài tập 63, § 1

Cho $G$ là nhóm con của $\mathbf{T}^{\mathbf{N}}$ tạo bởi các phần tử $x= (x_n)$ sao cho $2x_n=$ 0 với mọi $n\in \mathbf{N}$ ngoại trừ nhiều nhất một số hữu hạn.

a) Với mọi tập hữu hạn $\Lambda \subset \mathbf{N}$, đặt $U_{\Lambda}\subset G$ là tập hợp các $(x_n)$ sao cho $x_n= 1$ với $n\in \Lambda$ và $2x_n= 0$ với $n \notin \Lambda$. Có một cấu trúc nhóm tôpô trên G sao cho họ các tập $U_{\Lambda}$ là một cơ sở các lân cận mở của $e$.

b) Nhóm tôpô G là compact địa phương.

c) Nhóm G không chia được.

d) Nhóm đối ngẫu $\widehat{G}$ không có xoắn.