Exercice 64, § 1

Soit $\mu$ une mesure sur $\mathbf{T}$.

a) Pour tout $x\in \mathbf{T}$, on a

1 $2i\pi hx$

$\mu(\{x\}) =$ lim $\sum\mu(h)e$.

b) Écrivons $\mu=\mu_d+\mu_a$, où $\mu_a$ est une mesure atomique et $\mu_d$ une mesure diffuse (INT, V, §5, n$^o10$, prop. 15). Soit S le support de $\mu_a$. On a

lim$_{H\rightarrow+\infty}\frac{1}{2H + 1}\sum|\widehat{\mu}(h)|^2=\sum|\mu(\{s\})|^2$

$|h|\leqslant Hx\in S$

(considérer $(\mu*\widetilde{\mu})(\{0\})$).

c) Supposons que $\mu$ est une mesure de probabilité sur $\mathbf{T}$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe $x\in \mathbf{T}$ tel que $\mu=\varepsilon_x$;

(ii) On a lim$_{|h|\rightarrow+\infty}|\widehat{\mu}(h)|^2= 1$ ;

(iii) On a

lim$_{H\rightarrow+\infty}\frac{1}{2H + 1}\sum|\widehat{\mu}(h)|^2= 1$.

$|h|\leqslant H$