Bài tập 64, § 1

Cho $\mu$ là một độ đo trên $\mathbf{T}$.

a) Với mọi $x\in \mathbf{T}$, ta có

1 $2i\pi hx$

$\mu(\{x\}) =$ lim $\sum\mu(h)e$.

b) Ta viết $\mu=\mu_d+\mu_a$, trong đó $\mu_a$ là một độ đo nguyên tử và $\mu_d$ là một độ đo khuếch tán (INT, V, §5, n$^o10$, Mệnh đề 15). Gọi S là giá của $\mu_a$. Ta có

lim$_{H\rightarrow+\infty}\frac{1}{2H + 1}\sum|\widehat{\mu}(h)|^2=\sum|\mu(\{s\})|^2$

$|h|\leqslant Hx\in S$

(xét $(\mu*\widetilde{\mu})(\{0\})$).

c) Giả sử rằng $\mu$ là một độ đo xác suất trên $\mathbf{T}$. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Tồn tại $x\in \mathbf{T}$ sao cho $\mu=\varepsilon_x$;

(ii) Ta có lim$_{|h|\rightarrow+\infty}|\widehat{\mu}(h)|^2= 1$ ;

(iii) Ta có

lim$_{H\rightarrow+\infty}\frac{1}{2H + 1}\sum|\widehat{\mu}(h)|^2= 1$.

$|h|\leqslant H$