Exercice 65, § 1

On suppose que G est compact, muni de sa mesure de Haar normalisée $\mu$. Soit $f: G\rightarrow G$ un homomorphisme continu et surjectif.

a) On a $f(\mu) =\mu$.

b) L’application $f$ est $\mu$-ergodique (cf. exercice 16 de I, p. 190) si et seulement si il n’existe pas de caractère $\chi \not=e_G$ de G et d’entier $n\geqslant 1$ tel que $\chi \circ f^n=\chi$.

c) Soient $d\geqslant 1$ un entier et $a$ une matrice de type $(d, d)$ à coefficients entiers et de déterminant 1. L’application $f_a:\mathbf{T}^d\rightarrow \mathbf{T}^d$ telle que $f_a(x) =ax$ pour tout $x\in \mathbf{T}^d$ est ergodique par rapport à la mesure de Haar normalisée sur $\mathbf{T}^d$ si et seulement si le spectre de la matrice $a$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$ ne contient aucune racine de l’unité.