Bài tập 65, § 1

Giả sử rằng G là compact, được trang bị độ đo Haar chuẩn hóa $\mu$. Cho $f: G\rightarrow G$ là một đồng cấu toàn ánh liên tục.

a) Ta có $f(\mu) =\mu$.

b) Ánh xạ $f$ là $\mu$-ergodic (xem bài tập 16 của I, p. 190) khi và chỉ khi không tồn tại một đặc trưng $\chi \not=e_G$ của G và một số nguyên $n\geqslant 1$ sao cho $\chi \circ f^n=\chi$.

c) Cho $d\geqslant 1$ là một số nguyên và cho $a$ là một ma trận kiểu $(d, d)$ với các hệ số nguyên và định thức 1. Ánh xạ $f_a:\mathbf{T}^d\rightarrow \mathbf{T}^d$ sao cho $f_a(x) =ax$ với mọi $x\in \mathbf{T}^d$ là ergodic đối với độ đo Haar chuẩn hóa trên $\mathbf{T}^d$ khi và chỉ khi phổ của ma trận $a$ trong $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$ không chứa nghiệm đơn vị.