Exercice 67, § 1

Soient $k\geqslant 2$ et $\ell > k$ des entiers naturels. Pour tout entier $N\geqslant 1$, on note $r_{k,\ell}(N)$ le nombre de familles $(n_1, . . . , n_{\ell})\in \mathbf{N}^{\ell}$ telles que

Le but de cet exercice est de démontrer que, si $\ell$ est assez grand en fonction de $k$, alors $r_{k,\ell}(N)\geqslant 1$ (« problème de Waring ») pour tout $N\geqslant 1$.

On note $e:\mathbf{T}\rightarrow \mathbf{C}^*$ le caractère défini par passage au quotient par le caractère $x\mapsto e^{2i\pi x}$ de $\mathbf{R}$.

Soit $P\geqslant 1$ un entier. On note $S_P$ la fonction sur $\mathbf{T}$ telle que

On note $dx$ la mesure de Haar normalisée sur $\mathbf{T}$.

a) Si $P>N^{1/k}$, alors on a

b) Soit $\delta$ un nombre réel tel que $0< \delta <1/3$ et soit $P = [N^{1/k}]$. On suppose que N est suffisamment grand, de sorte que $P\geqslant 1$. Soient $a$ et $q$ des entiers premiers entre eux tels que $1\leqslant q\leqslant P^{\delta}$. On note $M_{a,q}$ l’image dans $\mathbf{T}$ de l’intervalle ouvert

Pour $x\in M_{a,q}$, on a

lorsque $N\rightarrow+\infty$, où

c) On note M la réunion des ensembles $M_{a,q}$ lorsque $q$ parcourt l’ensemble des entiers tels que $1\leqslant q\leqslant P^{\delta}$ et $a$ l’ensemble des entiers premiers à $q$ tels que $1\leqslant a < q$. Si $\delta <1/5$, alors il existe un nombre réel $\delta '>0$ tel que

lorsque $N\rightarrow +\infty$, où on pose, pour $Q\geqslant 1$

$q$

1 $\ell aN$ $\mathfrak{S}(Q,N) =\sum\sum S(a;q)e-$

$1\leqslant q\leqslant Qa=1$

J(Q) = $e(yt^k)dte(-y)dy$.

$-Q$ 0

d) On a

J(Q) = + O(Q )

lorsque $Q\rightarrow +\infty$. (Montrer d’abord que

J(Q) = $(y_1\cdots y_{\ell-1}(1-y_1- \cdots -y_{\ell-1}))dy+ O(Q$ )

où

puis évaluer cette intégrale ; cf. FVR VII, p. 8, prop. 4.)

e) Supposons que $\ell > \delta^{-1}k2^k$. Il existe $\delta '>0$ tel que

lorsque $N\rightarrow +\infty$. (Si N est suffisamment grand et si $x\in \mathbf{R}$ a image dans $\mathbf{T}-$ M, il existe des entiers $a$ et $q$ premiers entre eux tels que

Utiliser alors l’exercice 66.)

f) Pour tout nombre premier $p$ et tout entier $m\geqslant 1$, posons

$a=1$ $(a,q)=1$

et

$N(p^m) =$ Card($\{(x_1, . . . , x_{\ell})\in (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\ell}|x^k_1+\cdots +x^k_{\ell}= N$ mod$. p^m\}$). Lorsque $\ell >2^k$, on a

$+\infty m$

$1 +\sum A(p^m) =$ lim$_{m\rightarrow+\infty}\frac{N(p )}{p^{m(\ell-1)}}$.

$m=1$

g) Lorsque $\ell >2^k$, on a $\mathfrak{S}(Q,N) =\mathfrak{S}(N) +o(1)$ quand $Q\rightarrow +\infty$, où

le produit portant sur les nombres premiers étant absolument convergent. h) Soit $p$ un nombre premier. Soit $\nu \geqslant 0$ l’entier tel que $k=p^{\nu}r$ où $p$ ne divise pas $r$. Notons $\gamma$ l’entier

$\{\nu + 1$ si $p\geqslant 3$

$\nu + 2$ sinon.

S’il existe des entiers $(n_1, . . . , n_{\ell})$ tels que $p$ ne divise pas tout les $n_i$ et tels que

$x^k_1+\cdots +x^k_{\ell}\equiv 0$ mod$. p^{\gamma}$,

alors

lim$_{m\rightarrow+\infty}\frac{N(p^m)}{p^{m(\ell-1)}}>0$.

i) Il existe $\ell > k$ tel que, si N est suffisamment grand, alors $\mathfrak{S}(N)>0$. (Utiliser la question précédente et la question h) de l’exercice 33.)

j) Il existe un entier $\ell > k$ tel que $r_{k,\ell}(N)\geqslant 1$ pour tout entier $N\geqslant 1$.