Bài tập 67, § 1

Cho $k\geqslant 2$ và $\ell > k$ là các số tự nhiên. Với mọi số nguyên $N\geqslant 1$, ký hiệu $r_{k,\ell}(N)$ là số các họ $(n_1, . . . , n_{\ell})\in \mathbf{N}^{\ell}$ sao cho

Mục đích của bài tập này là chứng minh rằng, nếu $\ell$ đủ lớn như một hàm của $k$, thì $r_{k,\ell}(N)\geqslant 1$ ("bài toán Waring") với mọi $N\geqslant 1$.

Gọi $e:\mathbf{T}\rightarrow \mathbf{C}^*$ là đặc trưng được xác định bằng cách chuyển qua thương từ đặc trưng $x\mapsto e^{2i\pi x}$ của $\mathbf{R}$.

Gọi $P\geqslant 1$ là một số nguyên. Gọi $S_P$ là hàm trên $\mathbf{T}$ sao cho

Gọi $dx$ là độ đo Haar chuẩn hóa trên $\mathbf{T}$.

a) Nếu $P>N^{1/k}$, thì ta có

b) Gọi $\delta$ là một số thực sao cho $0< \delta <1/3$ và gọi $P = [N^{1/k}]$. Giả sử rằng N đủ lớn, để có $P\geqslant 1$. Gọi $a$ và $q$ là các số nguyên nguyên tố cùng nhau sao cho $1\leqslant q\leqslant P^{\delta}$. Gọi $M_{a,q}$ là ảnh trong $\mathbf{T}$ của khoảng mở

Với $x\in M_{a,q}$, ta có

khi $N\rightarrow+\infty$, trong đó

c) Gọi M là hợp của các tập $M_{a,q}$ khi $q$ chạy qua tập các số nguyên sao cho $1\leqslant q\leqslant P^{\delta}$ và $a$ tập các số nguyên nguyên tố cùng nhau với $q$ sao cho $1\leqslant a < q$. Nếu $\delta <1/5$, thì tồn tại một số thực $\delta '>0$ sao cho

khi $N\rightarrow +\infty$, trong đó ta đặt, với $Q\geqslant 1$

$q$

1 $\ell aN$ $\mathfrak{S}(Q,N) =\sum\sum S(a;q)e-$

$1\leqslant q\leqslant Qa=1$

J(Q) = $e(yt^k)dte(-y)dy$.

$-Q$ 0

d) Ta có

J(Q) = + O(Q )

khi $Q\rightarrow +\infty$. (Trước hết chứng minh rằng

J(Q) = $(y_1\cdots y_{\ell-1}(1-y_1- \cdots -y_{\ell-1}))dy+ O(Q$ )

trong đó

rồi tính tích phân này; xem FVR VII, p. 8, Prop. 4.)

e) Giả sử rằng $\ell > \delta^{-1}k2^k$. Tồn tại $\delta '>0$ sao cho

khi $N\rightarrow +\infty$. (Nếu N đủ lớn và nếu $x\in \mathbf{R}$ có ảnh trong $\mathbf{T}-$ M, thì tồn tại các số nguyên $a$ và $q$ nguyên tố cùng nhau sao cho

Rồi dùng Bài tập 66.)

f) Với mọi số nguyên tố $p$ và mọi số nguyên $m\geqslant 1$, đặt

$a=1$ $(a,q)=1$

và

$N(p^m) =$ Card($\{(x_1, . . . , x_{\ell})\in (\mathbf{Z}/p^m\mathbf{Z})^{\ell}|x^k_1+\cdots +x^k_{\ell}= N$ mod$. p^m\}$). Khi $\ell >2^k$, ta có

$+\infty m$

$1 +\sum A(p^m) =$ lim$_{m\rightarrow+\infty}\frac{N(p )}{p^{m(\ell-1)}}$.

$m=1$

g) Khi $\ell >2^k$, ta có $\mathfrak{S}(Q,N) =\mathfrak{S}(N) +o(1)$ khi $Q\rightarrow +\infty$, trong đó

tích lấy trên các số nguyên tố là hội tụ tuyệt đối. h) Cho $p$ là một số nguyên tố. Cho $\nu \geqslant 0$ là số nguyên sao cho $k=p^{\nu}r$ trong đó $p$ không chia hết $r$. Ký hiệu bởi $\gamma$ số nguyên

$\{\nu + 1$ nếu $p\geqslant 3$

$\nu + 2$ trong các trường hợp khác.

Nếu tồn tại các số nguyên $(n_1, . . . , n_{\ell})$ sao cho $p$ không chia hết tất cả các $n_i$ và sao cho

$x^k_1+\cdots +x^k_{\ell}\equiv 0$ mod$. p^{\gamma}$,

thì

lim$_{m\rightarrow+\infty}\frac{N(p^m)}{p^{m(\ell-1)}}>0$.

i) Tồn tại $\ell > k$ sao cho, nếu N đủ lớn, thì $\mathfrak{S}(N)>0$. (Dùng câu hỏi trước và câu hỏi h) của Bài tập 33.)

j) Tồn tại một số nguyên $\ell > k$ sao cho $r_{k,\ell}(N)\geqslant 1$ với mọi số nguyên $N\geqslant 1$.