Exercice 68, § 1

On note additivement la loi de groupe de G. Soit Γ un sous-groupe discret de G tel que $G/\Gamma$ soit compact. Soit $\Lambda = \Gamma^{\bot}$ l’orthogonal de Γ dans $\widehat{G}$; comme $\widehat{G}/\Gamma$ s’identifie à Λ, c’est un sous-groupe discret de $\widehat{G}$, et $\widehat{G}/\Lambda$ est compact (puisque son dual s’identifie à Γ).

On suppose que la mesure de Haar sur G est choisie de sorte que le quotient de la mesure duale $d\chi$ sur $\widehat{G}$ par la mesure de comptage sur Λ est la mesure de Haar normalisée sur $\widehat{G}/\Lambda$ (INT, VII, § 2, n$^o2$, déf. 1).

a) Il existe une partie mesurable Ω de $\widehat{G}$ qui rencontre chaque classe de G modulo Λ en un point et un seul ; la mesure de Ω est égale à 1.

b) Pour $x\in G$, on pose

La fonction $\varphi$ est continue ; elle vérifie $\varphi (0) = 1$ et $\varphi (\gamma ) = 0$ pour tout $\gamma \in \Gamma -\{0\}$.

c) Démontrer que $\varphi$ appartient à $L^2(G)$ et que $\|\varphi \|_2= 1$. Pour tout $\gamma \in$ Γ $-\{e\}$, on a

d) Soit $f\in L^2(G)$ telle que $\mathscr{F}(f)$ est nulle presque partout hors de Ω. Démontrer que

dans $L^2(G)$, où $\boldsymbol{\delta }_{\gamma}(\varphi )(x) =\varphi (x-\gamma )$. De plus, on a

e) Il existe une unique fonction continue sur G qui coïncide presque partout avec $f$. Si $f$ est continue, alors

dans $\mathscr{C}(G)$.

f) Spécialiser au cas où $G =\mathbf{R}$ et $\Lambda =h\mathbf{Z}$ pour un certain $h >0$ en prenant $\Omega = [-h, h[$.