Bài tập 68, § 1

Ta ký hiệu cộng tính luật nhóm của G. Cho Γ là một nhóm con rời rạc của G sao cho $G/\Gamma$ là compact. Cho $\Lambda = \Gamma^{\bot}$ là đối ngẫu vuông góc của Γ trong $\widehat{G}$; vì $\widehat{G}/\Gamma$ được đồng nhất với Λ, nó là một nhóm con rời rạc của $\widehat{G}$, và $\widehat{G}/\Lambda$ là compact (vì đối ngẫu của nó được đồng nhất với Γ).

Ta giả sử rằng độ đo Haar trên G được chọn sao cho thương của độ đo đối ngẫu $d\chi$ trên $\widehat{G}$ bởi độ đo đếm trên Λ là độ đo Haar chuẩn hóa trên $\widehat{G}/\Lambda$ (INT, VII, § 2, n$^o2$, def. 1).

a) Tồn tại một tập con đo được Ω của $\widehat{G}$ gặp mỗi lớp của G modulo Λ tại một và chỉ một điểm; độ đo của Ω bằng 1.

b) Với $x\in G$, ta đặt

Hàm $\varphi$ là liên tục; nó thỏa mãn $\varphi (0) = 1$ và $\varphi (\gamma ) = 0$ với mọi $\gamma \in \Gamma -\{0\}$.

c) Bài tập chứng minh rằng $\varphi$ thuộc $L^2(G)$ và rằng $\|\varphi \|_2= 1$. Với mọi $\gamma \in$ Γ $-\{e\}$, ta có

d) Cho $f\in L^2(G)$ sao cho $\mathscr{F}(f)$ bằng không hầu khắp nơi ngoài Ω. Bài tập chứng minh rằng

trong $L^2(G)$, trong đó $\boldsymbol{\delta }_{\gamma}(\varphi )(x) =\varphi (x-\gamma )$. Hơn nữa, ta có

e) Tồn tại một hàm liên tục duy nhất trên G trùng với $f$ hầu khắp nơi. Nếu $f$ là liên tục, thì

trong $\mathscr{C}(G)$.

f) Xét riêng trường hợp $G =\mathbf{R}$ và $\Lambda =h\mathbf{Z}$ với một $h >0$ nào đó bằng cách lấy $\Omega = [-h, h[$.