Exercice 7, § 1

Soit $f\in L^1(G)$. Soit F une fonction holomorphe définie dans une partie ouverte U de $\mathbf{C}$. On suppose que U contient l’ensemble des valeurs de $\mathscr{F}(f)$, et si G n’est pas discret, on suppose que $0\in U$ et F(0) = 0.

Alors il existe $g\in L^1(G)$ telle que $F\circ \mathscr{F}(f) =\mathscr{F}(g)$. (Utiliser le calcul fonctionnel holomorphe.)