Exercice 8, § 1

Soient $p\in [1,2]$ et $q\in [2,+\infty ]$ tels que $1/p+ 1/q= 1$.

a) Soit $f\in \mathscr{K}(G)$. Montrer que $\|\mathscr{F}(f)\|_q\leqslant \|f\|_p$. (Cette inégalité est valide pour $p= 1$ et $p= 2$. Dans le cas général, utiliser l’inégalité de M. Riesz (INT, IV, §6, exerc. 18).)

b) En déduire que la restriction de $\mathscr{F}$ à $\mathscr{K}(G)$ se prolonge en une application linéaire continue de $L^p(G)$ dans $L^q(\widehat{G})$ qui coïncide avec la transformation de Fourier sur $L^p(G)\cap L^1(G)$ et sur $L^p(G)\cap L^2(G)$.