Bài tập 8, § 1

Cho $p\in [1,2]$ và $q\in [2,+\infty ]$ sao cho $1/p+ 1/q= 1$.

a) Cho $f\in \mathscr{K}(G)$. Bây giờ chứng minh rằng $\|\mathscr{F}(f)\|_q\leqslant \|f\|_p$. (Bất đẳng thức này đúng với $p= 1$ và $p= 2$. Trong trường hợp tổng quát, dùng bất đẳng thức của M. Riesz (INT, IV, §6, exerc. 18).)

b) Suy ra rằng hạn chế của $\mathscr{F}$ trên $\mathscr{K}(G)$ mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $L^p(G)$ vào $L^q(\widehat{G})$ trùng với biến đổi Fourier trên $L^p(G)\cap L^1(G)$ và trên $L^p(G)\cap L^2(G)$.