Exercice 9, § 1

Soit G un groupe localement compact (non nécessairement commutatif) muni d’une mesure de Haar à gauche.

a) Si $f\in L^1(G)$, il existe $f_1$ et $f_2$ dans $L^1(G)$ tels que $f_1*f_2=f$. (Utiliser l’exercice 30 de I, p. 185.)

b) Soient $f_1, f_2\in L^1(G)$ avec $f_1\geqslant 0,f_2\geqslant 0$. Montrer que $f_1*f_2$ est presque partout égale à une fonction semi-continue inférieurement. (Considérer $f_1$ comme limite simple d’une suite croissante de fonctions $\geqslant 0$ de $L^{\infty}(G)$.)

c) On prend $G =\mathbf{R}$. Pour tout intervalle ouvert $I = ]a, b[$, posons

On définit des intervalles $I_n$ pour $n\geqslant 1$ et $I'_n$ pour $n\geqslant 0$ par $I'_0= ]0,1[$ et

pour $n\geqslant 1$. Soit F la réunion des intervalles $I_n$ pour $n\geqslant 1$. Il n’existe aucun couple $(F_1,F_2)$ de parties de $\mathbf{R}$ telles que $F_1+ F_2= F$. d) Si $f$ est une fonction continue $\geqslant 0$ sur $\mathbf{R}$ telle que $F =\{x\in \mathbf{R}|f(x)>0\}$, alors il n’existe aucun couple de fonctions $(f_1, f_2)$ dans $L^1(\mathbf{R})$ telles que $f_1\geqslant 0,f_2\geqslant 0$ et $f=f_1*f_2$. (Supposons une telle égalité. Soit $E_i$ l’ensemble des $x\in \mathbf{R}$ tels que $f_i(x)>0$. Soit $F_i$ l’ensemble des points de densité de $E_i$ (INT, V, §6, exerc. 15). Démontrer que $F = F_1+ F_2.$)