Bài tập 9, § 1

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương (không nhất thiết giao hoán) được trang bị một độ đo Haar trái.

a) Nếu $f\in L^1(G)$, tồn tại $f_1$ và $f_2$ trong $L^1(G)$ sao cho $f_1*f_2=f$. (Sử dụng bài tập 30 của I, p. 185.)

b) Cho $f_1, f_2\in L^1(G)$ với $f_1\geqslant 0,f_2\geqslant 0$. Bây giờ chứng minh rằng $f_1*f_2$ hầu khắp nơi bằng một hàm nửa liên tục dưới. (Xét $f_1$ như giới hạn đơn của một dãy tăng các hàm $\geqslant 0$ của $L^{\infty}(G)$.)

c) Lấy $G =\mathbf{R}$. Với mỗi khoảng mở $I = ]a, b[$, đặt

Định nghĩa các khoảng $I_n$ với $n\geqslant 1$ và $I'_n$ với $n\geqslant 0$ bởi $I'_0= ]0,1[$ và

với $n\geqslant 1$. Cho F là hợp của các khoảng $I_n$ với $n\geqslant 1$. Không tồn tại cặp $(F_1,F_2)$ các tập con của $\mathbf{R}$ sao cho $F_1+ F_2= F$.

d) Nếu $f$ là một hàm liên tục $\geqslant 0$ trên $\mathbf{R}$ sao cho $F =\{x\in \mathbf{R}|f(x)>0\}$, thì không tồn tại cặp các hàm $(f_1, f_2)$ trong $L^1(\mathbf{R})$ sao cho $f_1\geqslant 0,f_2\geqslant 0$ và $f=f_1*f_2$. (Giả sử có một đẳng thức như vậy. Cho $E_i$ là tập hợp các $x\in \mathbf{R}$ sao cho $f_i(x)>0$. Cho $F_i$ là tập hợp các điểm có mật độ của $E_i$ (INT, V, §6, exerc. 15). Chứng minh rằng $F = F_1+ F_2.$)