Exercice 1, § 2

a) Pour que G soit à base dénombrable, il faut et il suffit que $\widehat{G}$ soit à base dénombrable. (Si G est à base dénombrable, alors $L^1(G)$ est à base dénombrable, donc $\mathsf{X}(L^1(G))$ est à base dénombrable.) b) Pour que G soit dénombrable à l’infini, il faut et il suffit que $\widehat{G}$ admette un sous-groupe ouvert à base dénombrable, ou encore que $\widehat{G}$ soit métrisable. (Utiliser la prop. 3 de II, p. 248.)

c) Supposons G compact. Pour que G soit métrisable, il faut et il suffit que $\widehat{G}$ soit dénombrable, ou encore que G soit isomorphe à un sous-groupe fermé de $\mathbf{T}^{\mathbf{N}}$. (Un groupe commutatif discret dénombrable est quotient de $\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}.$)