Bài tập 1, § 2

(a) Để $G$ có một cơ sở đếm được, điều kiện cần và đủ là $\widehat{G}$ có một cơ sở đếm được. (Nếu $G$ có một cơ sở đếm được, thì $L^1(G)$ có một cơ sở đếm được, do đó $\mathsf{X}(L^1(G))$ có một cơ sở đếm được.) b) Để $G$ là đếm được tại vô hạn, điều kiện cần và đủ là $\widehat{G}$ có một nhóm con mở với một cơ sở đếm được, hoặc tương đương là $\widehat{G}$ mêtric hóa được. (Dùng Mệnh đề 3 của II, p. 248.)

c) Giả sử rằng $G$ là compact. Để $G$ mêtric hóa được, điều kiện cần và đủ là $\widehat{G}$ đếm được, hoặc tương đương là $G$ đẳng cấu với một nhóm con đóng của $\mathbf{T}^{\mathbf{N}}$. (Một nhóm giao hoán rời rạc đếm được là một nhóm thương của $\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}.$)