Exercice 10, § 2

Un groupe topologique est dit monothétique s’il existe un élément du groupe dont les puissances sont denses dans le groupe, et solénoïdal s’il existe un morphisme continu de $\mathbf{R}$ dans le groupe dont l’image est dense.

a) Avec les notations de l’exerc. 9, le groupe $\Delta_{\boldsymbol{a}}$ est monothétique.

b) Tout groupe compact monothétique totalement discontinu est topologiquement isomorphe à un groupe de la forme $\Delta_{\boldsymbol{a}}$.

c) Supposons G compact. Pour que G soit monothétique, il faut et il suffit que $\widehat{G}$ soit isomorphe à un sous-groupe de $\mathbf{T}$ muni de la topologie discrète. d) Supposons G compact. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) G est solénoïdal ;

(ii) $\widehat{G}$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbf{R}$ muni de la topologie discrète ;

(iii) $\widehat{G}$ est sans torsion, et Card($\widehat{G}$)$\leqslant \mathfrak{c}$, la puissance du continu ;

(iv) G est quotient de $(\Sigma_{\boldsymbol{a}})^{\mathfrak{c}}$ avec $\boldsymbol{a}= (n+ 2)_{n\geqslant 0}$.

e) Si G est compact solénoïdal, alors G est monothétique.