Bài tập 10, § 2

Một nhóm tôpô được gọi là đơn sinh nếu tồn tại một phần tử của nhóm mà các lũy thừa của nó trù mật trong nhóm, và được gọi là solenoid nếu tồn tại một cấu xạ liên tục từ $\mathbf{R}$ vào nhóm mà ảnh của nó là trù mật.

a) Với các ký hiệu của Bài tập 9, nhóm $\Delta_{\boldsymbol{a}}$ là đơn sinh.

b) Mọi nhóm compact hoàn toàn không liên thông đơn sinh đều đẳng cấu tôpô với một nhóm có dạng $\Delta_{\boldsymbol{a}}$.

c) Giả sử G là compact. Để G là đơn sinh, điều kiện cần và đủ là $\widehat{G}$ đẳng cấu với một nhóm con của $\mathbf{T}$ được trang bị tôpô rời rạc.

d) Giả sử G là compact. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) G là solenoid ;

(ii) $\widehat{G}$ đẳng cấu với một nhóm con của $\mathbf{R}$ được trang bị tôpô rời rạc ;

(iii) $\widehat{G}$ không có xoắn, và Card($\widehat{G}$)$\leqslant \mathfrak{c}$, lũy thừa của continuum ;

(iv) G là một thương của $(\Sigma_{\boldsymbol{a}})^{\mathfrak{c}}$ với $\boldsymbol{a}= (n+ 2)_{n\geqslant 0}$.

e) Nếu G là compact solenoid, thì G là đơn sinh.