Exercice 11, § 2

On note L(G) l’ensemble des représentations continues de G dans $\mathbf{R}$. On appelle sous-groupe à un paramètre de G l’image d’un morphisme continu de $\mathbf{R}$ dans G.

a) Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) G est réunion de sous-groupes à un paramètre ;

(ii) tout morphisme de $\mathbf{Z}$ dans G se prolonge en un morphisme continu de $\mathbf{R}$ dans G;

(iii) tout morphisme continu de $\widehat{G}$ dans $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ provient par passage au quotient d’un élément de $L(\widehat{G})$;

(iv) tout caractère unitaire de $\widehat{G}$ est de la forme $e^{i\lambda}$ où $\lambda \in L(\widehat{G})$.

b) Si G est à base dénombrable, les conditions de a) sont équivalentes à : G est isomorphe à $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$ où I est un ensemble dénombrable.

c) La réunion des sous-groupes à un paramètre de G est un sous-groupe dense dans la composante neutre de G. (Utiliser l’exerc. 4.)

d) Soit $t\mapsto \chi_t$ une application continue de $[0,1]$ dans $\widehat{G}$ telle que $\chi_0$ soit le caractère trivial. Il existe une application $t\mapsto \lambda_t$ de $[0,1]$ dans L(G) telle que $\lambda_0= 0$, pour tout $t$ on a $\chi_t=$ exp(2$i\pi \lambda_t$), et pour tout $x\in G$, l’application $t\mapsto \lambda_t(x)$ est continue.

e) La réunion des sous-groupes à un paramètre de G est aussi la réunion des arcs de G qui contiennent $e$, un arc de G étant l’image d’une application continue de $[0,1]$ dans G. (Utiliser d).)