Bài tập 11, § 2

Ta ký hiệu bởi L(G) tập hợp các biểu diễn liên tục của G trong $\mathbf{R}$. Ta gọi nhóm con một tham số của G là ảnh của một cấu xạ liên tục của $\mathbf{R}$ vào G.

a) Các điều kiện sau là tương đương :

(i) G là hợp của các nhóm con một tham số ;

(ii) mọi cấu xạ của $\mathbf{Z}$ vào G đều mở rộng thành một cấu xạ liên tục của $\mathbf{R}$ vào G;

(iii) mọi cấu xạ liên tục của $\widehat{G}$ vào $\mathbf{R}/\mathbf{Z}$ đều thu được bằng cách chuyển qua thương từ một phần tử của $L(\widehat{G})$;

(iv) mọi đặc trưng unita của $\widehat{G}$ đều có dạng $e^{i\lambda}$ trong đó $\lambda \in L(\widehat{G})$.

b) Nếu G có một cơ sở đếm được, các điều kiện của a) tương đương với : G đẳng cấu với $\mathbf{R}^n\times \mathbf{T}^I$ trong đó I là một tập hợp đếm được.

c) Hợp của các nhóm con một tham số của G là một nhóm con trù mật trong thành phần trung hòa của G. (Dùng bài tập 4.)

d) Cho $t\mapsto \chi_t$ là một ánh xạ liên tục của $[0,1]$ vào $\widehat{G}$ sao cho $\chi_0$ là đặc trưng tầm thường. Tồn tại một ánh xạ $t\mapsto \lambda_t$ của $[0,1]$ vào L(G) sao cho $\lambda_0= 0$, với mọi $t$ ta có $\chi_t=$ exp(2$i\pi \lambda_t$), và với mọi $x\in G$, ánh xạ $t\mapsto \lambda_t(x)$ là liên tục.

e) Hợp của các nhóm con một tham số của G cũng là hợp của các cung của G chứa $e$, một cung của G là ảnh của một ánh xạ liên tục của $[0,1]$ vào G. (Dùng d).)